Математика и экономико-математические модели: вычисления на компьютере: учебное пособие

Москва 
РИОР 
ИНФРА-М 

МАТЕМАТИКА 
И ЭКОНОМИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЕ 
МОДЕЛИ: 

 
ВЫЧИСЛЕНИЯ НА КОМПЬЮТЕРЕ

С.В. Юдин

Фамилия И.О.
Сюда опять вписать название книги. — М.: РИОР, 2011. —
 с. 

ISBN 978-5-369-00___-_

УДК  51:51-37:338(075.8)

ББК  22.161я73 
 

В пособии кратко описаны пакеты программ, распространяемые на условиях лицензии GNU GPL, не предполагающей регистрации и оплаты за использование. Показано, как с помощью этих программ решать практически любые экономикоматематические задачи.  
Приведены примеры решения сорока восьми задач. 
Пособие предназначено для студентов экономических специальностей, преподавателей специальных экономических дисциплин, магистрантов и аспирантов, занимающихся исследованиями экономических процессов. 

© Юдин С.В.

Автор:             Юдин С.В. — доктор технических наук, профессор
по кафедре высшей и прикладной математики,
член-корреспондент Академии проблем качества
РФ. Является автором более 140 печатных работ,
в том числе девяти монографий и шести учебных
пособий. Специалист в области управления и
контроля качества, экономико-математических
методов, эконометрики, специальных методов
математической статистики. 
 
Рецензенты:     
Буркин И.М. — д.ф.м.н., профессор, заведующий кафедрой
математического анализа Тульского государственного университета 
Поляков В.А. — д.э.н., профессор, заведующий кафедрой
«Экономика, менеджмент и маркетинг» Тульского филиала
Финансового университета при Правительстве Российской
Федерации 

Юдин С.В.

Математика и экономико-математические модели: Вычисления на компьютере: Учеб. пособие.  — М.: РИОР: ИНФРА-М,
2016. — 185 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). —
www.dx.doi.org/10.12737/5564 
 
ISBN 978-5-369-01579-7 (РИОР) 
ISBN 978-5-16-105110-8 (ИНФРА-М, online) 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Автор данного учебного пособия свыше тридцати лет преподает 
математические дисциплины (включая специальные разделы для экономических и технических направлений подготовки)  в ВУЗах, имеет 
опыт работы в Тульском государственном университете (ТулГУ), 
Тульском филиале Всероссийского заочного финансово-экономического института (ТФ ВЗФЭИ), Тульском филиале Российского торгово-экономического университета (ТФ РГТЭУ), Тульском филиале 
Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова 
(ТФ РЭУ) а также в системе довузовской подготовки. Базовое образование получил в Московском физико-техническом институте. Доктор 
технических наук, доцент по кафедре ЭВМ, профессор по кафедре 
высшей и прикладной математики, член-корреспондент Академии 
проблем качества. 
Основные проблемы преподавания математики в высшей школе 
возникли из-за резкого снижения качества преподавания этого предмета в школе. Можно по-разному объяснять причины этого явления, 
но оно существует, и это – главное.   
Точка зрения автора на эту проблему изложена в статье [8], опубликованной еще в 2009 г. 
Следует заметить, что в школьной программе по математике и физике ряд разделов совершенно излишен. Они на новом, более серьезном уровне, изучаются в базовых курсах в вузах. К ним относятся 
элементы дифференциального и интегрального исчисления в математике, ряд теорем в геометрии и стереометрии, элементы квантовой 
механики и теории относительности, полупроводники в физике.  
Эти темы достаточно сложны не только с точки зрения освоения 
специфического аппарата, но и с философской точки зрения. Подавляющему большинству выпускников школы, да и не только школы, 
но и вуза, они никогда в жизни не пригодятся. 
В то же время в школьной программе нет очень важных тем: элементов теории вероятностей (то, что есть, слишком упрощено), 
управления личными финансами, оценки рисков. Многие простые 
разделы школьниками усваиваются плохо. К ним относятся проценты, 
элементарная механика и многие другие.  
В информатике слишком большое внимание уделяется вопросам 
программирования, с которыми рядовой пользователь никогда не 
столкнется, в то же время, выпускники школ обладают крайне слабыми навыками делопроизводства, совершенно не владеют богатыми 
возможностями электронных таблиц и программ по подготовке презентаций. 
Возникает проблема, связанная именно с уровнем знаний и умений 
наших абитуриентов. Механическое повышение требований – означает отрезать бедных от последней возможности изменить свое положе
ISBN 978-5-369-00___-_

ние, т.к. это означает огромные траты на внешкольное дополнительное образование. Это – не выход. 
Олимпиады – тоже не панацея. Дело в том, что олимпиадные задачи требуют совершенно другого мышления, которое необходимо 
опять-таки тренировать за пределами школы. Где взять кадры и деньги, необходимые для этого? Где найти необходимую литературу, которую если и издавали последние годы, то совершенно мизерным тиражом? Или опять это ляжет на плечи родителей? 
Какой выход предлагает автор? 
С нашей точки зрения пора переходить от стремления научить всех 
МАТЕМАТИКЕ, т.е. стройной системе знаний, в которой студенты 
могут свободно ориентироваться и даже доказывать теоремы, к системе навыков и умений. При этом необходимо как можно шире прибегать к использованию современных программных средств.  
Когда речь идет о современных программных средствах символьной математики, обычно называют Mathcad, Mapple, Mathematica 
и др. Эти системы хороши, но стоимость их слишком велика: 40000 … 
60000 рублей. Если поставить их на школьные или университетские 
компьютеры, можно будет снизить стоимость за счет оптовой поставки и скидки для учебных заведений, но за использование этих систем 
на домашнем компьютере все равно придется платить полную стоимость, что доступно очень немногим.  
В то же время имеется ряд бесплатных программ.  
Программа MAXIMA [1, 6, 7] - предназначена для решения алгебраических, тригонометрических, матричных, дифференциальных 
уравнений и систем уравнений, символьных преобразований, построения графиков. На ее основе можно наглядно представить весь 
курс школьной и вузовской математики, добиться от учащихся освоения необходимых приемов вычисления, решения стандартных задач, 
символьных алгебраических преобразований.  
Программа GRETL [4, 5, 9] - предназначена для проведения статистического анализа и построения статистических моделей. 
Офисный пакет OpenOffice.org [11, 12] - способен полностью заменить офисный пакет от Microsoft. 
Все эти программы можно установить для работы как в операционной систем Microsoft Windows, так и в открытой ОС Linux. 
Естественно, это потребует изменения образовательных стандартов, коренного изменения, как методики преподавания, так и общего подхода к оценке знаний учащихся. 
Возможно, школьные выпускники, экономисты, инженеры по ряду 
специальностей и другие не смогут считаться «математически грамотными». Но, если вдуматься, многим ли специалистам необходимо 
быть именно математиками? Многие ли из инженеров, экономистов, 
логистиков, работников банков ставились перед необходимостью разрабатывать новые математические методы?  

Специалисты, которые не занимаются научными исследованиями, 
с точки зрения современного общества являются пользователями, для 
которых необходимо предложить соответствующее руководство, организовать необходимое обучение и тренинг. Нет необходимости разбираться в квантовой механике и теории пределов для того, чтобы 
делать хорошие автомобили и шить красивую одежду. Именно для 
пользователей и написана эта книга. 
Но она будет полезна и исследователям, ведь даже в известном 
всем Microsoft Office Excel скрыты огромные возможности по обработке числовой информации, о чем подавляющее большинство студентов, аспирантов и даже преподавателей и не подозревают.  
Предлагаемое пособие ни в коей мере не способно заменить учебники по соответствующим предметам. Его целесообразно использовать параллельно с ними при решении соответствующих задач. 

1. СВОБОДНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ 

1.1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СВОБОДНОМ ПРОГРАММНОМ 
ОБЕСПЕЧЕНИИ 

Свободное ПО (Free Software) — программы для ЭВМ, кото-рые 
распространяются на условиях, предоставляющих пользовате-лям 
четыре ключевые свободы (права): 
1 - свободное использование программного обеспечения в любые 
целях;  
2 - свободное изучение и адаптация ПО к нуждам пользователя(ей) 
при условии открытого доступа к исходному коду программы;  
3 - свободное распространение программного обеспечения (за 
деньги или безвозмездно);  
4 - свободное усовершенствование и публикация ПО, включая распространение усовершенствованных версий, при условии открытого 
доступа к исходному коду программы.  
Каждый пользователь свободной программы, в отличие от несвободной (проприетарной), является полноценным владельцем программы (обладает неисключительными авторскими имущественными 
правами на нее) и не зависит от воли разработчика программы или 
правообладателя. 
Важнейшим следствием прав (2) и (4) является распространение 
свободной программы только при открытом доступе к её исходному 
коду. 
Подобные программы распространяются под лицензией GNU 
General Public License, которая и описывает приведенные выше свободы. 
Свободное ПО не означает, что оно является бесплатным. В случае 
продажи копии программы продавец, как правило, предоставляет ряд 
дополнительных услуг, которые, собственно, и оплачиваются (не считая стоимости изготовления и доставки копии покупателю). Если же 
программа пользователем самостоятельно скопирована, то она обойдется ему бесплатно, но никакие дополнительные услуги ему оказаны 
не будут. 
Пользователь программного обеспечения самостоятельно решает, 
какие программы он будет использовать: коммерческие или свободно 
распространяемые. 
Каждый вид ПО имеет свои достоинства и недостатки. Рассмотрим основные виды программных средств, не претендуя на полноту обзора. 
Начнем с важнейшей части любого компьютера – операционной 
системы (ОС). Почему автор говорит об ОС, а не о процессоре, материнской плате и т.п.? С нашей точки зрения рядовому пользователю 
все это, по большому счету, безразлично. Все современные компью

теры способны выполнять все задачи, возникающие в процессе работы и учебы. Еще несколько лет тому назад компьютером пользовались, в основном, специалисты в области информационных технологий (ИТ), а прочие использовали эту технику только для ввода данных, набора текстов. Всегда были исключения – геймеры, фанатыпрограммисты и им подобные (не следует считать, что автор относится к ним с предубеждением, он  доцент по кафедре ЭВМ и сам был 
таким). Владельцы ПК хвастались друг перед другом мощностью 
процессоров и видеокарт, сравнивали их возможности и постоянно 
производили модернизацию (апгрейд) техники.  
Сейчас этот бум спал. На первый план вышли соображения удобства пользования, простота работы, доступность информационных 
технологий «чайнику». 
С точки зрения автора, обычному пользователю и не надо знать, 
что там внутри. Важны три основных условия: 
1 – возможность выполнения всех задач, как в работе, так и в учебе; 
2 – простота использования; 
3 – минимальные требования к общей подготовке. 
Как уже отмечено выше, все современные компьютеры, как стационарные (десктопы), так и переносные (лэптопы или ноутбуки), а, в 
последнее время, и планшеты, способны выполнять все основные задачи, за исключением, быть может, некоторых специфических, таких 
как исполнение последних компьютерных игр, обработки видеосигнала в реальном времени и т.п. Но эти задачи не являются теми, которые 
подавляющее большинство пользователей решают в процессе своей 
работы или учебы. Таким образом, первое условие можно считать 
выполненным всегда. 
Для работы на ПК необходима специальная программа-посредник, 
которая должна переводить команды пользователя в вид, понятный 
исполнителю-компьютеру. В качестве такого посредника выступает 
операционная система.  
В России широкое распространение получили следующие операционные системы: 
1 – коммерческая ОС семейства Microsoft Windows корпорации 
Microsoft; 
2 – множество клонов открытой ОС семейства Linux; 
3 – специфическая Mac OS (используется только на компьютерах 
семейства Apple Macintosh); 
4 - Андроид (используется в подавляющем большинстве смартфонов и планшетов). 
Операционная система Microsoft Windows лучше всех других известна в России. Это можно объяснить двумя факторами. Во-первых, 
дружественность интерфейса, простота работы и настройки, отсутст

вие требований к специальным знаниям. Во-вторых, большое количество пиратских копий, доступных до сих пор на каждом углу. 
Открытые ОС семейства Linux, как правило, используют люди с 
высокой квалификацией в области системного программирования. 
Если Вам необходимо достичь высочайшей надежности, максимальной производительности, полной безопасности, то Ваша ОС – Linux.  
Помимо этого, практически все пакеты с ОС Linux поставляются с 
огромным количеством прикладных программ. Как правило, они 
имеют в своем составе офисные пакеты, графические редакторы, музыкальные и видеопроигрыватели и т.д. и т.п. Нет необходимости искать и покупать что-то, чего нет в основной поставке. Кроме этого, 
каждая версия ОС Linux связана со своим депозитарием, в котором 
находится огромное количество бесплатных программ любой направленности. 
Совершено уникальная особенность ОС Linux – возможность создания и использования полноценной системы, которая загружается и 
работает без установки – непосредственно с компакт-диска. При этом 
имеется возможность чтения и записи на другие носители информации, работы со всеми пакетами программ, записанными на CD. Такие 
системы носят название LiveCD. 
Mac OS автором не используется, поэтому рекомендаций дать не 
может. 
Андроид пока плохо подходит для организации вычислений. 
Операционные  системы дают возможность пользователям общения с ПК, а решать задачи приходится с помощью разнообразного 
специализированного ПО. 
Рассмотрим некоторые программы, которые наиболее часто используют студенты, аспиранты и преподаватели ВУЗов. 
В первую очередь, нам нужны офисные пакеты программ. Ведь 
каждый из нас сталкивается с необходимостью написания отчетов 
(для этого нужен текстовый редактор), содержащие, зачастую, таблицы и графики, составленные по данным этих таблиц (для этого нужны 
табличные процессоры, обладающие возможностью упорядочивать и 
обрабатывать данные, строить различные диаграммы и графики). Часто возникает необходимость публичной презентации своих достижений (для составления визуального отображения целесообразно использовать слайды, каковые могут быть изготовлены в редакторе презентаций). 
Как правило, все эти функции собраны в один пакет программ. 
Существует несколько конкурирующих пакетов. Мы кратко рассмотрим только два из них. 
Первый, это коммерческий пакет Microsoft Office корпорации 
Microsoft. В настоящее время актуальна версия Microsoft Office 2010 и 
Microsoft Office 365.  

Этот пакет содержит текстовый редактор Microsoft Office Word, 
электронные таблицы Microsoft Office Excel, редактор презентаций 
Microsoft Office PowerPoint, электронная записная книжка Microsoft 
Office OneNote. В более старших (и, соответственно, дорогих, имеются и другие программы, такие как Access, Publisher и др.) 
Второй пакет – это офисный пакет, разработанный и распространяемый на основе открытой лицензии GNU General Public License: 
OpenOffice.org.  
Офисный пакет OpenOffice.org содержит:  
1 – текстовый редактор OpenOffice.org Writer; 
2 – электронные таблицы OpenOffice.org Calc; 
3 – редактор презентаций OpenOffice.org Impress; 
4 – графический редактор OpenOffice.org Draw. 
Можно утверждать, что этот пакет является полноценной заменой 
Microsoft Office. С его помощью можно читать, редактировать и сохранять документы в форматах Microsoft Office, своих собственных 
форматах (что предпочтительнее). В качестве недостатков можно отметить, что набирать  формулы в редакторе OpenOffice.org Writer 
сложнее, чем в Microsoft Office Word, а электронные таблицы 
OpenOffice.org Calc не позволяют решать задачи нелинейного программирования, в отличие от Microsoft Office Excel.  В них также отсутствуют богатейшие возможности  Microsoft Office Excel   и   
Gnumeric по статистическому анализу данных. 
Помимо операционной системы и офисного пакета пользователю, 
как правило, необходимы другие программы. Мы рассмотрим те из 
них, которые могут пригодиться в учебе и работе студентам, аспирантам и преподавателям, чья специальность связана с применением математических методов в экономике. 
В первую очередь, необходима программа, позволяющая не только 
проводить математические расчеты, но и помогать в изучении общих 
математических методов. Имеется множество разных программ. 
К коммерческим относятся такие как Mapple, Mathematica, 
MathCad, MathLab. Это очень мощные средства, позволяющие решить практически любую задачу. Все они имеют возможность символьных преобразований. Иначе говоря, можно решить задачу не 
только численно, как к этому привыкли школьники и студенты за 
время изучения курса «Информатика», но и в обычном символьном 
виде. С точки зрения автора, наиболее удачный интерфейс разработан 
для программы MathCad. Если же говорить о мощности и универсальности – то это программа Maple. С точки зрения решаемых в экономике задач любая из этих программ позволит пользователю добиться 
поставленных целей. 
Недостаток этих программ в одном – высокая цена. 
Среди свободного ПО можно отметить упомянутый выше пакет 
Maxima. Недостаток – не очень красивый интерфейс. 

Указанные математические пакеты являются универсальными. Тем 
не менее, имеется ряд задач, таких как проведение статистического 
анализа, для решения которых лучше подходят специализированные 
программы.  
Широко известны коммерческие программы статистического анализа Statistica и SPSS. Они позволяют легко и просто решать сложнейшие статистические задачи, предоставляют великолепный графический интерфейс. Недостаток, опять-таки, один – высокая цена. Нет, 
для крупного и даже среднего предприятия, это не так много, но для 
студента, аспиранта и преподавателя ВУЗа 40000…60000 руб. многовато. 
Имеется несколько хороших программ, распространяющихся свободно. Среди них стоит отметить программу Gretl. Она позволяет решать все те задачи, которые решают и коммерческие программы. Недостатков у нее два: более бедный интерфейс и отсутствие русифицированной версии. Так что необходимо знание английского языка на 
уровне твердой школьной четверки. 
В целом, функциональность свободного ПО, как правило, не уступает функциональности коммерческого ПО. Разница только в удобстве и красоте интерфейса. Иногда коммерческие программы обладают 
большей функциональностью, но для целей обучения это не имеет 
значения.  
Что касается надежности, то коммерческие программы не всегда 
отличаются в лучшую сторону. Любой товар должен обладать определенными потребительскими свойствами,  быть безопасным. Производитель несет ответственность за брак и убытки, понесенные потребителем вследствие, например, возгорания телевизора, отравления 
пищевыми продуктами и т.д. В то же время производители массовых 
программных продуктов не несут никакой ответственности за брак. 
Во всех лицензионных соглашениях фигурирует оборот «as is». Иначе 
говоря, программа берется в том виде, в каком она поставляется, производитель не отвечает ни за какие последствия, возникшие вследствие использования ее, даже если в процессе работы программы будут 
разрушены данные, с которыми эта программа не должна была  работать, не говоря уже о ее собственных базах данных. 
С нашей точки зрения, здесь происходит нарушение прав потребителей. Их никогда полностью не информируют о  всех свойствах ПО, 
производители никогда не берут на себя ответственность ни за правильное функционирование программ, ни за ущерб, нанесенный ПО 
во время эксплуатации. 
Техническая поддержка, которую обеспечивают поставщики коммерческого ПО, заключается только в том, что Вам помогут разрешить те проблемы, которые любой грамотный пользователь решит 
самостоятельно, быть может, потратит 20…30 минут. Если же возникает проблема несовместимости с другими программами, будет обна