Основы анализа цепей

В. П. Бакалов, О. Б. Журавлева, Б. И. Крук 
ОСНОВЫ АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ
Рекомендовано УМО по образованию в области 
инфокоммуникационных технологий и систем связи 
в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
подготовки 210700 – «Инфокоммуникационные технологии 
и системы связи» квалификации (степени) «бакалавр» 
и квалификации (степени) «магистр»
Москва
Горячая линия – Телеком
2014

ÅÅä 32.88 
 
м˜В·МУВ ЛБ‰‡МЛВ 
м˜В·МУВ ФУТУ·ЛВ 
й·ОУКН‡ ıЫ‰УКМЛН‡  Ç. É. ëËÚÌËÍÓ‚‡ 
 
йлзйЗх ДзДгабД сЦиЦв 
ĉðÂÒ ËÁ‰‡ÚÂθÒÚ‚‡ ‚ àÌÚÂðÌÂÚ WWW.TECHBOOK.RU 
 
Ň͇ÎÓ‚ Ç. è., ÜÛð‡‚΂‡ é. Å., äðÛÍ Å. à. 
ТЪВрВУЪЛФ. – е.: ЙУрfl˜‡fl ОЛМЛfl–нВОВНУП, 2014. – 592 Т: ЛО. 
ISBN 978-5-9912-0306-7. 
м˜В·МУВ ФУТУ·ЛВ ФрВ‰М‡БМ‡˜ВМУ ‰Оfl Т‡ПУТЪУflЪВОёМУ„У ЛБЫ˜ВМЛfl УТМУ‚М˚ı р‡Б‰ВОУ‚ ЪВУрЛЛ ˆВФВИ. З ФВр‚УИ ˜‡ТЪЛ ФУТУ·Лfl Т В‰ЛМ˚ı ФУБЛˆЛИ р‡ТТП‡ЪрЛ‚‡˛ЪТfl ‚УФрУТ˚ ‡М‡ОЛБ‡ ОЛМВИМ˚ı, МВОЛМВИМ˚ı Л ‰ЛТНрВЪМ˚ı ˆВФВИ, М‡ıУ‰fl˘ЛıТfl ФУ‰ ‚УБ‰ВИТЪ‚ЛВП „‡рПУМЛ˜ВТНЛı, ФВрЛУ‰Л˜ВТНЛı МВ„‡рПУМЛ˜ВТНЛı, МВФВрЛУ‰Л˜ВТНЛı Л ‰ЛТНрВЪМ˚ı НУОВ·‡МЛИ. ЗЪУр‡fl 
˜‡ТЪё ФУТУ·Лfl ТУ‰ВрКЛЪ П‡ЪВрЛ‡О У· ‡М‡ОУ„У‚˚ı Л ‰ЛТНрВЪМ˚ı ЫТЪрУИТЪ‚‡ı, ‚ıУ‰fl˘Лı ‚ ТУТЪ‡‚ р‡‰ЛУ- Л ФрУ‚У‰МУИ ‡ФФ‡р‡ЪЫр˚ Т‚flБЛ: ˝ОВНЪрЛ˜ВТНЛı ‡М‡ОУ„У‚˚ı Л ‰ЛТНрВЪМ˚ı ЩЛОёЪр‡ı, НУррВНЪУр‡ı, „ВМВр‡ЪУр‡ı, 
МВОЛМВИМ˚ı ФрВУ·р‡БУ‚‡ЪВОflı. иУТУ·ЛВ ПУКВЪ ·˚Ъё ЛТФУОёБУ‚‡МУ Н‡Н ФрЛ 
Ър‡‰ЛˆЛУММ˚ı, Ъ‡Н Л ‰ЛТЪ‡МˆЛУММ˚ı ЪВıМУОУ„Лflı У·Ы˜ВМЛfl ТЪЫ‰ВМЪУ‚.  
СОfl ТЪЫ‰ВМЪУ‚ ‚ЫБУ‚, У·Ы˜‡˛˘ЛıТfl ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛ ФУ‰„УЪУ‚НЛ 
210700 – «аМЩУНУППЫМЛН‡ˆЛУММ˚В ЪВıМУОУ„ЛЛ Л ТЛТЪВП˚ Т‚flБЛ» Н‚‡ОЛЩЛН‡ˆЛЛ (ТЪВФВМЛ) «·‡Н‡О‡‚р» Л Н‚‡ОЛЩЛН‡ˆЛЛ (ТЪВФВМЛ) «П‡„ЛТЪр», ·Ы‰ВЪ ФУОВБМУ ‰Оfl ТЪЫ‰ВМЪУ‚ ‚ЫБУ‚ Л НУООВ‰КВИ, У·Ы˜‡˛˘ЛıТfl ФУ ТФВˆЛ‡ОёМУТЪflП Т‚flБЛ Л ЛМЩУрП‡ЪЛНЛ. 
Ň͇ÎÓ‚ З‡ОВрЛИ и‡МЪВОВВ‚Л˜, ÜÛð‡‚΂‡ йОё„‡ ЕУрЛТУ‚М‡, 
äðÛÍ ЕУрЛТ а‚‡МУ‚Л˜ 
 
иУ‰ФЛТ‡МУ Н ФВ˜‡ЪЛ 05.12.2013.  оУрП‡Ъ 60×90 1/16., мТО. ФВ˜. О. 37.  аБ‰. ‹ 13306.  нЛр‡К 500 ˝НБ. 
мСд 621.373 (075) 
ЕЕд 32.88 
     Е19 
 
к В ˆ В М Б В М Ъ ˚ :  ‰УНЪУр ЪВıМ. М‡ЫН, ФрУЩВТТУр  Ä. Ö. ÑÛ·ËÌËÌ; ‰УНЪУр ЪВıМ. 
М‡ЫН, ФрУЩВТТУр  B. î. ÑÏËÚðËÍÓ‚ 
Å19          йТМУ‚˚ ‡М‡ОЛБ‡ ˆВФВИ: м˜В·МУВ ФУТУ·ЛВ ‰Оfl ‚ЫБУ‚.– 2-В ЛБ‰., 
 
ISBN 978-5-9912-0306-7                           ©  З. и. Е‡Н‡ОУ‚, й. Е. ЬЫр‡‚ОВ‚‡,  
                                                                             Е. а. дрЫН, 2012, 2014 
                                   ©  аБ‰‡ЪВОёТЪ‚У «ЙУрfl˜‡fl ОЛМЛfl–нВОВНУП», 2012 

Предисловие 
 
Дисциплина «Основы теории цепей» базируется, как известно, «на двух китах» – анализе и синтезе. При этом раздел, описывающий анализ электрических цепей, является базовым для 
подавляющего большинства дисциплин телекоммуникационных 
специальностей. 
Техническая революция, происходящая сейчас в сфере телекоммуникаций и информатики, предполагает органическое взаимодействие аналоговых и цифровых способов организации связи. 
Подобное имеет место, например, в современных системах подвижной радиосвязи, в сетях проводного и радиодоступа, оптических системах связи и др. Такие понятия, как фильтрация, генерация, модуляция, выпрямление, корреляция, цифровая обработка и т.п. еще многие десятилетия останутся в арсенале специалистов радиотехники, связи и информатики. Более того, общая теория фильтров, генераторов, модуляторов, корректоров и других 
устройств предполагает использование математических моделей 
этих устройств и описание на их основе происходящих физических процессов. Реализация данных моделей может быть осуществлена как на основе аналоговой (линейной и нелинейной), так 
и на основе цифровой техники. 
Материал предлагаемого читателю учебного пособия является 
частью дисциплины «Основы теории цепей», которая изучается 
студентами практически всех специальностей вузов и колледжей 
радиотехники и связи. Он посвящен анализу реакций линейных, 
нелинейных и дискретных цепей на различные воздействия и на 
этой основе расчету различных узлов и устройств аналоговой и 
цифровой аппаратуры связи. 
Предлагаемый читателю материал с одной стороны представляет собой теорию, использующую разнообразный и достаточно 
сложный математический аппарат. С другой стороны это первый 
материал, который закладывает фундамент в специальные знания 
студента. 
При самостоятельном изучении материала, когда рядом нет 
опытного преподавателя, традиционный учебник уже не является 
самодостаточным средством для усвоения материала хотя бы потому, что он написан в традиционной манере и предназначен для 
использования при традиционной методике обучения. 
Сегодня нет четких рекомендаций, каким должен быть учебник для самостоятельного изучения материала. Каждый автор 
вынужден сам решать этот вопрос. Поэтому в последние годы в 
дополнение к традиционным учебникам стали издаваться многочисленные учебные пособия для самостоятельной работы или для 
3 
 
 
 

дистанционного обучения. При всем многообразии и внешней несхожести этих пособий их объединяет одно – стремление авторов 
изложить материал так, чтобы обучающийся мог самостоятельно 
разобраться в дебрях математических формул, понять смысл существующих законов и правил, усвоить многочисленные алгоритмы и методы расчета. 
Подобную попытку предприняли и авторы данного учебного 
пособия. Учебное пособие состоит из 2-х частей. В первой из них 
описаны методы анализа реакций разного рода цепей (линейных, 
нелинейных, дискретных) на различные воздействия. Вторая 
часть пособия посвящена анализу работы узлов и устройств аналоговой и цифровой аппаратуры связи: фильтров, корректоров, 
нелинейных преобразователей, генераторов. 
То, что пособие предназначено для самостоятельного изучения 
материала в значительной мере определило язык и стиль построения книги. В качестве встроенных подзаголовков текста используются ключевые фразы, сразу же вводящие читателя в суть 
предлагаемого материала, а в конце каждого раздела сформулированы конечные цели изучения этого раздела. Текст книги насыщен 
большим количеством иллюстративных примеров. Основные формулы приведены в рамках, привлекающих внимание обучаемого. 
В конце глав даны контрольные вопросы и задания, упражнения с 
ответами, способствующие самоконтролю усвоения материала. 
Предложенная структура книги, а также стремление авторов 
изложить материал ясно и доходчиво, делает это учебное пособие 
особенно полезным для системы дистанционного образования, где 
основной упор ставится на самостоятельное приобретение знаний. 
Данное учебное пособие является продолжением и дополнением комплекса учебной литературы, включающего учебник В.П. Бакалова, В.Ф. Дмитрикова, Б.И. Крука «Основы теории цепей», 
учебное пособие В.П. Бакалова, Б.И. Крука, О.Б. Журавлевой 
«Основы теории цепей. Компьютерный тренажерный комплекс» и 
учебное пособие М.Г. Виткова, Н.И. Смирнова «Основы теории 
цепей. Лабораторный практикум». 
Авторы признательны рецензентам заведующему кафедрой 
ТЭЦ Поволжской государственной академии телекоммуникаций и 
информатики проф. А.Е. Дубинину, заведующему кафедрой ТЭЦ 
Санкт-Петербургского государственного университета телекоммуникаций проф. В.Ф. Дмитрикову за их замечания, способствующие улучшению содержания книги. 
 
Авторы 
4 
 
 
 

Вместо введения: задача анализа цепей 
 
 
В.1 Элементы электрической цепи 
 
Электрической цепью называется соединение генераторов 
электрической энергии и приемников этой энергии – резистивных, индуктивных и емкостных элементов. 
Генераторы, или по-другому, источники электрической энергии подразделяются на зависимые и независимые источники. К 
независимым источникам относятся батареи, аккумуляторы, электрогенераторы, термоэлементы и другие преобразователи; к зависимым источникам – электронные лампы, транзисторы, операционные усилители и другие активные элементы. Независимые источники можно представить в виде двух моделей: источника напряжений и источника тока. 
Понятия электрического напряжения и электрического тока 
являются одними из основных в анализе электрических цепей. 
Каждая точка электрического поля характеризуется электрическим потенциалом V. Разность потенциалов V1 и V2 двух точек называется напряжением u12: 
 
u12 = V1 – V2. 
В источнике электрической энергии, например, в таком как 
сухой элемент, в результате химических реакций появляется разность потенциалов между угольным стержнем и цинковым стаканчиком. Следовательно, между выводами от угольного стрежня 
и цинкового стаканчика, возникает напряжение. 
В технике связи электрические напряжения получают от специальных электронных устройств, называемых генераторами и 
преобразующих электрическую энергию промышленной сети в 
различные напряжения. 
Напряжение на разомкнутых зажимах источника называется 
электродвижущей силой (эдс) и обозначается буквой е. 
Значение напряжения в любой заданный момент t называется 
мгновенным и обозначается u = u(t). В системе СИ напряжение 
и эдс измеряют в вольтах (В).  
Под воздействием разности потенциалов (напряжения) источника в электрической цепи возникает электрический ток i – 
упорядоченное движение электрических зарядов (ток проводимости в металлах, электролитах, газах; ток переноса в электровакуумных приборах и др.). Значение тока i(t) в любой заданный 
момент t называется мгновенным и обозначается i = i(t). Измеряется ток в амперах (А). 
5 
 
 
 

 
 
Рис. В.1. Направления отсчетов напряжения и тока 
 
Являясь скалярной величиной, 
напряжение u(t) может принимать 
как положительные, так и отрицательные значения. Для однозначного 
определения знака напряжения выбирают положительное направление его 
отсчета, которое показывается стрелкой (рис. В.1). Для определенности будем считать, что положительное направление отсчета совпадает с направлением стрелки от 
более высокого потенциала, т.е. «+», к более низкому, т.е. «–». 
Ток i(t) также может принимать положительные и отрицательные значения. Принято считать значение тока положительным, если движение положительно заряженных частиц совпадает 
с заранее выбранным направлением отсчета тока. 
В случае, показанном на рис. В.1, положительные направления отсчета напряжения и тока согласованы между собой, так 
как положительное направление отсчета напряжения u12 соответствует направлению перемещения положительно заряженных частиц от более высокого потенциала V1 к более низкому V2. Очевидно, что u12 = –u21. 
Независимым источником напряжения называют идеализированный двухполюсный элемент, напряжение на зажимах которого не зависит от протекающего через него тока. Условное обозначение источника напряжения показано на рис. В.2, а. 
Источник напряжения полностью характеризуется своим задающим напряжением uг, или эдс eг. Внутреннее сопротивление 
источника напряжения равно нулю. 
Зависимость напряжения от тока носит название вольтамперной характеристики (ВАХ). У идеального источника напряжения ВАХ представляет собой прямую, параллельную оси 
токов (рис. В. 3, а). 
 
 
 
В.2. Идеальные источники напряжения (а и б) и тока (в)  
и реальные (г и д) 
6 
 
 
 

 
 
Рис В.3. Вольт-амперные  характеристики идеальных  
источников напряжении (а) и тока (б) 
 
Независимым источником тока называют идеализированный двухполюсный элемент, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах. Условное изображение источника тока 
показано на рис. В.2, в. Источник тока полностью характеризуется своим задающим током iг. Внутренняя проводимость источника тока равна нулю (внутреннее сопротивление бесконечно велико) и ВАХ представляет собой прямую параллельную оси напряжений (рис. В.3, б). 
Свойства реальных источников с конечным внутренним сопротивлением можно моделировать с помощью независимых источников напряжения и тока с дополнительно включенными резистивными сопротивлением Rг или проводимостью Gг (рис. В.2, г 
и д). Напряжение u и отдаваемый ток i этих источников зависят 
от параметров подключаемой к ним цепи, а их ВАХ имеют тангенс угла наклона α, пропорциональный Rг и Gг, соответственно 
(штриховые линии на рис. В.3). 
Зависимый источник представляет собой четырехполюсный 
элемент с двумя парами зажимов – входных и выходных. Вход 
 
 
Рис. В.4. Зависимые источники: ИНУН (а), ИТУН (б),  
ИНУТ (в) и ИТУТ (г) 
7 
 
 
 

ные ток i1 и напряжение u1 являются управляющими. Различают 
следующие разновидности зависимых источников (рис. В.4): источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН); источник тока, управляемый напряжением (ИТУН); источник напряжения, управляемый током (ИНУТ); источник тока, управляемый током (ИТУТ). На рис. В.4 показаны условные обозначения 
зависимых источников различного типа. 
В ИНУН (рис. В.4, а) входное сопротивление бесконечно 
велико, входной ток i1 = 0, а выходное напряжение u2 связано с 
входным u1 равенством u2 = Huu1, где Hu – коэффициент, характеризующий усиление по напряжению зависимого источника. Источник типа ИНУН является идеальным усилителем напряжения. 
В ИТУН (рис. В.4, б) выходной ток i2 управляется входным 
напряжением u1, причем i1 = 0 и ток i2 связан с u1 равенством 
i2 = HGu1, где HG – коэффициент, имеющий размерность проводимости. 
В ИНУТ (рис. В.4, в) входным током i1 управляется выходное напряжение u2; входная проводимость бесконечно велика; 
u1 = 0, u2 = HRi1, где HR – коэффициент, имеющий размерность 
сопротивления. 
В ИТУТ (рис. 8.4, г) управляющим током является i1, а управляемым i2. Входная проводимость бесконечно велика; u1 = 0, 
i2 = Hii1, где Hi – коэффициент усиления по току. ИТУТ является идеальным усилителем тока. 
Примером зависимого источника является операционный 
усилитель (ОУ). Выпускаемые в виде отдельных микросхем 
(рис. В.5, а) ОУ широко применяются в качестве зависимых источников электрической цепи. 
Операционный усилитель имеет два входа: 1 – неинвентирующий и 2 – инвертирующий. При подаче напряжения u1 на 
вход 1 выходное напряжение u2 имеет ту же полярность, что и 
u1, а при подаче u1 на вход 2 напряжение u2 меняет свою полярность на противоположную. 
 
 
 
Рис. В.5. Идеальный операционный усилитель  
и его схема замещения в виде ИНУН 
8 
 
 
 

 
 
Рис. В.6. Резистивный (а), индуктивный (б) и емкостный (в)  
элементы электрической цепи 
 
Идеальный ОУ (рис. В.5, б) представляет собой ИНУН с 
бесконечно большим коэффициентом усиления (Hu → ∞), бесконечно большими входным сопротивлением и выходной проводимостью. 
Часто для анализа цепей с биполярными и полевыми транзисторами используется модель ИТУН с конечным или, соответственно, бесконечным входным сопротивлением. 
Если источники электрической энергии называют активными 
элементами, то приемники электрической энергии – пассивными 
элементами: резистивным, индуктивным и емкостным. 
Резистивным элементом называют идеализированный элемент, обладающий только свойством необратимого рассеяния 
энергии. Условное обозначение резистивного элемента показано 
на рис. В.6, а. Вольт-амперная характеристика резистивного элемента имеет вид: 
 
u = Ri    или   i = Gu. 
(В.1) 
Коэффициенты пропорциональности R и G называются соответственно сопротивлением и проводимостью элемента и являются его количественной характеристикой. Они связаны обратной 
зависимостью R = 1/G. Измеряют в системе СИ сопротивление 
R в омах (Ом), а проводимость G в сименсах (См). 
Если в ВАХ (В.1) сопротивление R постоянно, то ВАХ линейна (рис. В.7, а) и резистивный элемент является линейным. 
Если же R зависит от протекающего через него тока или приложенного к нему напряжения, то ВАХ становится нелинейной и 
резистивный элемент называется нелинейным. 
 
 
 
Рис. В.7. Вольт-амперные характеристики линейного (а)  
и нелинейного (б) резистивных сопротивлений 
9 
 
 
 

Индуктивным элементом называют идеализированный элемент электрической цепи, обладающим только свойством накопления им энергии магнитного поля. Условное обозначение индуктивного элемента изображено на рис. В.6, б. 
Математическая модель, описывающая свойства индуктивного элемента, определяется соотношением 
 
Ψ = Li, 
(В.2) 
где Ψ – потокосцепление, характеризующее суммарный магнитный поток, пронизывающий катушку. Измеряется в веберах (Вб). 
L – индуктивность элемента. Измеряется в генри (Гн). 
Связь между напряжением на индуктивном элементе и током 
в нем определяется согласно закону электромагнитной индукции 
выражением 
 
Ψ
=
=
L
d
di
u
L
dt
dt . 
(В.3) 
Если величина L постоянна и не зависит от электрического 
режима, то вебер-амперная характеристика (В.2) линейна и индуктивный элемент является линейным. Если же L зависит от тока или напряжения, то вебер-амперная характеристика нелинейна 
и индуктивный элемент будет нелинейным. 
Из выражения (В.3) следует, что при протекании через индуктивный элемент постоянного тока i напряжение uL = 0 и индуктивный элемент эквивалентен в этом случае короткозамкнутому участку цепи. 
Емкостным элементом называется идеализированный элемент электрической цепи, обладающий только свойством накапливать энергию электрического поля. Условное обозначение емкостного элемента показано на рис. В.6, в. 
Математическая модель, описывающая свойства емкостного 
элемента, определяется кулон-вольтной характеристикой 
 
q = CuC, 
(В.4) 
где q – электрический заряд, измеряемый в кулонах (Кл); С – 
емкость элемента, измеряемая в фарадах (Ф). 
Между током и напряжением на емкостном элементе существует связь, определяемая равенством: 
 
=
=
C
dq
du
i
C
dt
dt . 
(В.5) 
Если величина С постоянная, то кулон-вольтная характеристика (В.4) линейна и емкостной элемент является линейным. 
Если же параметр С зависит от электрического режима, то характеристика (В.4) нелинейна. 
10