Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

Голушко С.К.

Немировский Ю.В.

Прямые и

обратные задачи
механики упругих

композитных пластин

и оболочек
вращения

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 539.3
ББК 22.251
Г 62

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 07-01-07065

Го л у ш к о С. К., Н е м и р о в с к и й Ю. В. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 432 с. — ISBN 978-5-9221-0948-2.

В монографии представлены результаты исследований, выполненных авторами в области механики многослойных анизотропных пластин и оболочек. Получены новые решения задач расчета напряженно-деформированного состояния
и определения нагрузок начального разрушения широкого класса различных
элементов тонкостенных конструкций. Проведен сравнительный анализ поведения конструкций на основе классической и ряда уточненных теорий пластин
и оболочек в геометрически линейной и нелинейной постановках. Представлен
оригинальный метод и новые классы аналитических решений обратных задач
рационального проектирования композитных пластин и оболочек.
Для широкого круга специалистов в области механики деформируемого
твердого тела, динамики и прочности машин, строительной механики, судостроения, авиакосмической техники, а также преподавателей, аспирантов и
студентов.

ISBN 978-5-9221-0948-2

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2008

c⃝ С. К. Голушко, Ю. В. Немировский, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Ч а с т ь I.
Основные уравнения механики
композитных пластин и оболочек вращения и методы
их решения

Г л а в а 1. Структурные модели композиционного материала . . . . .
21

1.1. О феноменологическом и структурном подходах к моделированию
свойств композитов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.2. Определяющие соотношения полиармированного слоя . .. . . . . . . .
22
1.3. Критерии прочности и начального разрушения полиармированного
слоя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.4. Сравнительный анализ расчетных характеристик композиционных
материалов с экспериментальными данными. .. . . . . . . . . . .. . . . .
31

Г л а в а 2. Уравнения упругих композитных пластин и оболочек
вращения в классической и уточненных постановках . . . . . . . .
35

2.1. Задачи статики упругих композитных пластин и оболочек . .. . . . .
36
2.2. Неосесимметричные задачи упругих композитных оболочек . .. . . .
43
2.3. Осесимметричные задачи упругих композитных оболочек. .. . . . . .
51
2.4. Круглые пластины, круговые и эксцентрические кольца . .. . . . . . .
61

Г л а в а 3. Методы решения краевых задач механики композитных
пластин и оболочек вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67

3.1. О сведении двумерных краевых задач к одномерным . .. . . . . . . . .
68
3.2. Особенности систем дифференциальных уравнений при решении
краевых задач . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
71

Оглавление

3.3. Методы решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.4. Алгоритм решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.5. Анализ
эффективности
методов
дискретной
ортогонализации
и
сплайн–коллокации
при
решении
задач
теории
пластин
и оболочек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

Ч а с т ь II.
Анализ деформирования и начального
разрушения композитных пластин и оболочек
вращения

Г л а в а 4. Напряженно–деформированное
состояние
рефлектора
параболической антенны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
4.1. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
4.2. Рефлектор под действием собственного веса (осесимметричный
случай) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
128
4.3. Рефлектор под действием температурного нагружения (осесимметричный случай) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
4.4. Рефлектор под действием собственного веса (неосесимметричный
случай) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
4.5. Рефлектор под действием ветровой нагрузки . .. . . . . . . . . . . . . .
134
4.6. Рефлектор под действием температурной и ветровой нагрузок . .. . .
137
4.7. Анализ достоверности численных решений. .. . . . . . . .. . . . . . . . .
141

Г л а в а 5. Особенности поведения и начальное разрушение армированных куполов и сводов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142

5.1. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
5.2. Купол под действием собственного веса. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
5.3. Купол под действием собственного веса и ветровой нагрузки . .. . .
147
5.4. Купол под действием собственного веса, ветровой и температурной
нагрузок. .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
5.5. Анализ достоверности численных решений. .. . . . . . . . . . . . . . . .
153

Г л а в а 6. Влияние анизотропии материала на деформирование резинокордной тороидальной оболочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
6.1. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
6.2. Влияние выбора модели КМ и теории оболочек на расчетные значения НДС . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
6.3. Влияние анизотропии и неоднородности материала на поведение
оболочки . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162

Оглавление
5

6.4. Об использовании несимметричных схем армирования. .. . . . . . . .
164

Г л а в а 7. Оболочки нулевой гауссовой кривизны . . . . . . . . . . . . .
167

7.1. Влияние выбора теорий на расчетные значения НДС оболочек
нулевой гауссовой кривизны . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
7.2. Влияние выбора структурных моделей КМ на расчетные значения
НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны . .. . . . . . . . . . . . . . .
173
7.3. Влияние структуры армирования на расчетные значения НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
7.4. Влияние порядка расположения армированных слоев на расчетные
значения НДС оболочек нулевой гауссовой кривизны. .. . . . . . . . .
179
7.5. Анализ достоверности численных решений. .. . . . .. . . . . . . . . . . .
181

Г л а в а 8. Сферические и эллипсоидальные оболочки . . . . . . . . . .
183

8.1. Влияние выбора теорий на расчетные значения НДС эллипсоидальных оболочек . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
8.2. Влияние выбора структурных моделей КМ на расчетные значения
НДС эллипсоидальных оболочек . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
8.3. Анализ достоверности численных решений. .. . . . . . . . . . . . . . . .
195

Г л а в а 9. Нодоидные оболочки . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198

9.1. Влияние выбора теорий на расчетные значения НДС нодоидных
оболочек . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199
9.2. Влияние выбора структурных моделей КМ и структуры армирования на расчетные значения НДС нодоидных оболочек . .. . . . . . . .
203
9.3. Анализ достоверности численных решений. .. . . . . . . . . . . . . . . .
211

Г л а в а 10. Сопряженные сосуды давления . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
213

10.1. Влияние выбора теорий на расчетные значения НДС сосуда давления . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214
10.2. Влияние выбора структурных моделей КМ и структуры армирования на расчетные значения НДС сосуда давления
. .. . . . . . . . . .
217
10.3. Анализ достоверности численных решений. .. . . . . . . . . . . . . . . .
226

Г л а в а 11. Анализ напряженно-деформированного состояния многослойных полиармированных эксцентрических колец . . . . . . .
228

11.1. Получение разрешающей системы уравнений . .. . . . . . . . . . . . . .
228
11.2. Влияние выбора структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения . .. .. . . . . .
234
11.3. Влияние выбора теории пластин на расчетные характеристики НДС
и уровень нагрузок начального разрушения . .. . . . . . . . . . . . . . .
241

Оглавление

11.4. Влияние геометрических и структурных параметров на расчетные
характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения
243
11.5. Влияние механических параметров КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения . .. . . . . . . . .
246

Г л а в а 12. Анализ напряженно-деформированного состояния многослойных полиармированных круглых пластин и колец. . . . . .
250

12.1. Разрешающая система уравнений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250
12.2. Влияние выбора структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения
. .. . . . . .
255
12.3. Влияние выбора теории пластин на расчетные характеристики НДС
и уровень нагрузок начального разрушения . .. . . . . . . . . . . . . . .
261
12.4. Влияние механических параметров КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения . .. . . . . . . . .
277
12.5. Влияние схем армирования и типа волокон на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения . .. . . . .
280

Г л а в а 13. Решение пространственной задачи теории упругости
для цилиндрической оболочки . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
294

13.1. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294
13.2. Расчет НДС однослойного цилиндра . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
296
13.3. Расчет НДС трехслойного цилиндра . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
299

Ч а с т ь III.
Рациональное проектирование
композитных пластин и оболочек вращения

Г л а в а 14. Основные задачи проектирования композитных пластин
и оболочек вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
304

14.1. Обзор и анализ подходов к проблеме рационального и оптимального
проектирования композитных конструкций. .. . . . . . . . . . . . . . . .
304
14.2. Критерии рационального и оптимального проектирования композитных конструкций. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
312
14.3. О постановках задач рационального проектирования армированных
оболочек. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
320

Г л а в а 15. Проектирование строго безмоментных армированных
оболочек вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323

15.1. Строго безмоментные армированные оболочки (неосесимметричный
случай) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323
15.2. Строго безмоментные армированные оболочки (осесимметричный
случай) . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331

Оглавление
7

15.3. Строго безмоментные армированные оболочки с равнонапряженной
арматурой. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
344

Г л а в а 16. Проектирование равнопрочных однородных и композитных пластин и оболочек вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
362
16.1. Постановка задачи и основные уравнения . .. . . . . . . . . . . . . . . .
362
16.2. Критерий равнопрочности связующего материала . .. . . . . . . . . . .
364
16.3. Критерий равнонапряженности армирующих волокон . .. . . . . . . .
366
16.4. Получение условий совместности при использовании критерия равнонапряженности арматуры . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
367
16.5. Вывод разрешающих систем уравнений для оболочек с равнонапряженной арматурой . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
371
16.6. Аналитические решения задач рационального проектирования оболочек с равнонапряженной арматурой . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
374
16.7. Многослойные эксцентрические кольца с равнонапряженной арматурой. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
379

Г л а в а 17. Проектирование полужестких оболочек . . . . . . . . . . . .
386
17.1. Получение условий совместности при использовании критерия полужесткости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386
17.2. Вывод разрешающих систем уравнений для полужестких оболочек
388
17.3. Аналитические решения задач рационального проектирования полужестких оболочек . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
389

Г л а в а 18. Проектирование оболочек минимального веса . . . . . . .
395
18.1.
Получение условий совместности при использовании критерия
постоянства удельной потенциальной энергии. .. . . . . . . . . . . . . .
395
18.2. Вывод разрешающих систем уравнений для оболочек с постоянной
удельной потенциальной энергией. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
398
18.3. Аналитические решения задач рационального проектирования оболочек с постоянной удельной потенциальной энергией . .. . . . . . . .
400
18.4. Анализ достоверности и эффективности рациональных решений . .
402

Библиографический список . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
407

ВВЕДЕНИЕ

Тонкостенные оболочки являются важнейшими элементами многих
современных конструкций. Ведущую роль они играют в авиационной
и ракетно–космической технике, судо– и автомобилестроении, энергетическом и химическом машиностроении, жилищном и промышленном
строительстве. Оболочки широко используются в качестве корпусов
и днищ различного рода сосудов, резервуаров и емкостей для хранения
жидких, газообразных и сыпучих продуктов, в конструкциях перекрытий и защитных ограждений.
Среди большого разнообразия геометрических форм особо выделяются оболочки вращения — цилиндрические, конические, сферические,
эллипсоидальные, параболические, тороидальные, нодоидные, ундулоидные и др., которые вследствие ряда неоспоримых преимуществ широко используются в конструктивных решениях для различных объектов техники. Трубопроводы, нефтепроводы и газопроводы, нефтехранилища и газохранилища, котлы энергетических установок, купола
и своды различных зданий и сооружений — это лишь небольшой
перечень примеров использования оболочек вращения. На современном
этапе развития техники с помощью оболочек как структурных элементов конструкций решается комплекс разнообразных задач, особенно
при создании летательных и глубоководных аппаратов, исследовательских объектов ближнего и дальнего космоса, емкостей для хранения
и транспортировки разнообразных продуктов, транспортных средств,
подземных и подводных коммуникаций.
В силу многообразия геометрических форм оболочек, условий нагружения, закрепления и соединения с другими конструктивными
элементами, их напряженно–деформированное состояние (НДС) может иметь весьма сложный характер, изменяясь как по толщине,
так и вдоль меридианов и параллелей, причем оно может сильно
изменяться не только при увеличении амплитуд нагрузок, но и при
сравнительно небольших пространственных отклонениях в распределении поверхностных нагрузок. Поэтому очень важно уметь выделять
условия наиболее благоприятной работы конструкции. Наиболее эффективно тонкостенные конструкции будут работать в условиях преимущественных растяжений поверхности. Идеальным при этом следует
считать равномерное распределение напряжений по толщине стенки
конструкции, когда материал в сечении нагружается равномерно. Такое
состояние называется безмоментным и может быть реализовано только

Введение
9

в том случае, если приняты специальные меры по согласованию форм
оболочек, законов распределения толщины стенки оболочки, структуры
материала, характера ее нагружения и закрепления.
Для большинства конструкционных материалов поведение при растяжении и сжатии теоретически равноценно. Однако в тонкостенных
оболочках механизмы разрушения при растягивающих и сжимающих
напряжениях могут быть существенно различными. Если в условиях растяжения предельно допустимые состояния возникают при достижении определенной меры эквивалентного напряжения — предела
прочности или предела упругого сопротивления, то при сжимающих
напряжениях разрушение конструкции может проявиться задолго до
достижения этого уровня нагрузок вследствие появления других опасных механизмов разрушения, вызванных общей или местной потерей
устойчивости (потерей формы конструкции). Чтобы избежать опасных
последствий местного изгиба в таких областях, с помощью различного
рода усилений в виде накладок, направленного изменения толщины,
анизотропии и неоднородности можно попытаться перераспределить
усилия и выровнять напряженное состояние, доведя его до безмоментного, равномерно распределенного по сечению.
Во многих случаях безмоментное состояние практически неосуществимо. В этих случаях эффективные оболочечные проекты могут
быть осуществлены за счет создания конструктивной неоднородности
и/или анизотропии. Одним из простейших решений является переход
от однослойных конструкций к многослойным. Число и характер слоев
определяется при этом конструктивными особенностями и назначением
оболочки. Каждый слой является носителем определенных свойств.
В настоящее время широко используются трехслойные оболочки с легкими и жесткими заполнителями. Трехслойные оболочки с легкими
заполнителями представляют собой в сечении пакет с внешними несущими слоями, изготовленными из металла (сталь, алюминиевые, титановые сплавы и т. п.), фанеры, текстолита, армированных пластиков,
металлов или керамики и промежуточного «легкого» (с малой прочностью и жесткостью) заполнителя, обеспечивающего работу сечения
как единого пакета и препятствующего потере устойчивости несущих
слоев при сжатии и сдвиге. Возможны различные сочетания материалов несущих слоев: например, один слой из металла, а другой из
стеклопластика. В качестве заполнителей используются пенопласты,
пробки, пористые металлические губки, сотовые полимерные конструкции и т. п. В оболочках с жестким заполнителем используются либо
заполнители с характеристиками близкими к материалам наружных
слоев, либо жесткие ребристые конструкции разных форм: сотовые,
складчатые, гофрированные и др. Соединение наружных слоев и заполнителей обычно осуществляется методами склейки и точечной сварки.
Трехслойные конструкции позволяют обеспечивать высокую изгибную
жесткость при относительно малом весе и могут быть использованы
в условиях значительных изгибных деформаций.

Введение

Двухслойные оболочки состоят из двух несущих квазиоднородных
слоев с материалами разной природы. Подкрепленные ребристые оболочки — это конструкции, сочетающие в себе двухмерные элементы —
собственно оболочки и одномерные элементы — силовой набор (ребра).
Меридиональные и окружные ребра могут располагаться как снаружи,
так и внутри оболочки. Слоистые и подкрепленные ребристые оболочки находят самое широкое применение в современных конструкциях
авиационной, ракетной и судостроительной техники. Многослойные
и ребристые конструкции порождают принципиально новые свойства,
которые не присущи ни одному из слоев. Варьируя в широком диапазоне свойства материалов, геометрические параметры слоев и наборов
ребер, можно существенно улучшить весовые, габаритные, стоимостные качества конструкции, ее несущую способность и устойчивость.
В настоящее время наиболее распространенными технологическими
способами изготовления тонкостенных слоистых полиармированных
конструкций типа оболочек и пластин являются процессы выкладки
и непрерывной намотки, сочетающиеся в ряде случаев с технологиями
склейки и напыления защитных и упрочняющих слоев. При таких способах изготовления конструкции приобретают не только анизотропные,
но также и неоднородные свойства. Однако во многих существующих
методах расчета пластин и оболочек последнее обстоятельство не учитывается.
Большие перспективы улучшения прочностных и эксплуатационных свойств конструкций в промышленности открыли композиционные
материалы (КМ). Более легкие, прочные, жесткие, КМ по своим удельным характеристикам существенно превосходят традиционные стали
и сплавы.
Композит представляет собой неоднородный сплошной материал,
состоящий из двух или более компонентов, среди которых можно
выделить армирующие элементы, обеспечивающие необходимые механические характеристики материала, и матрицу, обеспечивающую
совместную работу армирующих элементов.
В современных композитах армирующими элементами служат тонкие волокна диам. (5–200)·10−6 м. Они также являются основой для
изготовления жгутов, лент или тканей с различными типами плетения. Волокна должны удовлетворять комплексу эксплуатационных
и технологических требований. Это условия по прочности, жесткости
и стабильности свойств в процессе эксплуатации. Технологические
свойства волокон определяют возможность создания высокопроизводительных процессов изготовления изделий на их основе. Другое важное
требование к КМ — совместимость материалов волокон и матрицы.
В качестве армирующих элементов используются стеклянные, углеродные, борные, органические, стальные, вольфрамовые и другие волокна.
Механические свойства некоторых волокон приведены в табл. 1, где ρ,
E, σ∗, ε∗ — плотность, модуль упругости, предел прочности и предельная деформация волокна.