Минимизация ошибки разложения сигналов в ряд по эквидистантным физически реализуемым функциям

Надійність технічних засобів
183

УДК 621.391.1

А.Н. ДЕГТЯРЁВ

Севастопольский национальный технический университет, Украина

МИНИМИЗАЦИЯ ОШИБКИ РАЗЛОЖЕНИЯ СИГНАЛОВ В РЯД ПО 
ЭКВИДИСТАНТНЫМ ФИЗИЧЕСКИ РЕАЛИЗУЕМЫМ ФУНКЦИЯМ

Рассматриваются условия существования ортогональных базисов, составленных из физически реализуемых эквидистантных функций. Показано, что существует интервал смещения базисных функций, 
при котором ошибка аппроксимации сигнала рядом минимальна.

Ключевые слова: физически реализуемые функции, эквидистантные функции, ортогональность, 
функционал ошибки, ряд.

Введение

Ошибка аппроксимации физических сигналов 

ортогональными рядами и скорость сходимости рядов зависят от выбора базисных функций. В работе 
[1] показано, что высокую скорость сходимости 
имеют ряды, составленные из базисов, полученных 
смещением импульсных характеристик физически 
реализуемых линейных фильтров. Там же предложен метод ортогонализации, позволяющий определить вес ортогональности для системы линейно независимых функций, однако условия существования 
такой системы не рассматривались. Также не рассматривалась методика получения интервала смещения эквидистантных функций, минимизирующего функционал ошибки аппроксимации сигнала эквидистантным рядом. Целью настоящей работы является устранение указанных «пробелов».

1. Условие существования физически 
реализуемых ортогональных базисов

Условие существования ортогонального базиса

вытекает непосредственно из условия ортогональности функций 
)t(
n
с весом 
)t(
h

,
m
n
,0

,
m
n
,1
td
)t(
h
)t(
)t(
m
n
(1)

где n=0, 1, 2, ….

В работе [1] показано, что вес ортогональности 

имеет вид 

m
n

m
n
mn
)t(
)t(
)t(
h
,             (2)

и для эквидистантных функций (
)
n
t(
)t(
n
, 

— интервал смещения) является периодической 

функцией. Подстановка (2) в (1) позволяет определить неизвестные постоянные 
mn .

Система (1) будет иметь решение (будет непро
тиворечивой), если выполняется условие

)t(
A
)t(
)t(
2
k
m
n
,
(3)

где А — постоянное число.

Будем считать, что 
)t(
0
— импульсная харак
теристика физически реализуемого фильтра, а остальные 
)t(
n
получены смещением
)t(
0
на ин
тервал времени 
.

Определим, для каких 
)t(
n
выполняется не
равенство (3). В простейшем случае импульсная 
характеристика линейного фильтра является общим
решением линейного однородного дифференциального уравнения 

0
)t(
a
)t(
a
...
)t(
a
)t(
a
0
n

/
0
1
n

)1
n
(
0
1

)
n
(
0
0
. (4)

Решение уравнения (4) имеет вид выражения

M

1
m

1m

m

pt
N

1
k

t
p

k
0
t
b
e
e
c
)t(
k

Q

1
l

1
l

l

t
L

1
n

n

t

n
t
q
t
sin
e
t
sin
e
d
n
. (5)

Очевидно, что система функций, полученных

смещением функции (5), будет удовлетворять неравенству (3), если это неравенство будет выполняться 
для системы функций, полученных смещением одного из слагаемых, входящих в выражение (5). 

Рассмотрим, будет ли выполняться условие (3) 

для импульсной характеристики вида 

pt

0
e
c
)t(1
)t(
,
(6)

где 1(t) — функция Хевисайда. С учетом (6) запишем левую часть неравенства (3)

)
m
t(
)
n
t(
0
0

)
m
t(
p
)
n
t(
p
e
c
)
m
t(1
e
c
)
n
t(1
.
(7) 

Для определенности примем 
n
m
, тогда

)
m
t(
)
n
t(
0
0

)
m
n
(
p
pt
2
2
e
e
c
)
m
t(1
.
(8)

Правая часть неравенства (3) имеет вид

k
p
2
pt
2
2
2
0
e
e
c
)
k
t(1
)
k
t(
.
(9)

Подставим (8) и (9) в (3) и получим

)
m
n
(
p
pt
2
2
e
e
c
)
m
t(1

k
p
2
pt
2
2
e
e
c
)
k
t(1
A
.     
(10)