Системно-динамическая имитационная модель распространения эпидемии

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

1

http://naukovedenie.ru 30TVN114

УДК
51.76:517.22:004.838:007

Аль-Азази Амин Ахмед

ФГБОУ ВПО «Тверской государственный технический университет»

Россия, Тверь1

Аспирант

E-Mail: aminshic@yahoo.com

Масленников Борис Иванович

ФГБОУ ВПО «Тверской государственный технический университет»

Россия, Тверь

Декан заочного отделения

Профессор, доктор технических наук

E-Mail: Bimnew@yandex.ru

Системно-динамическая имитационная модель 

распространения эпидемии

Аннотация:
Представлено описание процесса структурной и параметрической 

идентификации имитационной модели системы управления эпидемической ситуацией по 
туберкулёз-ВИЧ. Имитационная модель системы управления эпидемической ситуацией по 
туберкулёз-ВИЧ, отличается от других моделей включением в её состав эффекторов 
процессов лечения и активного выявления больных, а также учитывать влияние процессов 
пространственного переноса заболевания в популяциях, что позволяет прогнозировать 
зависимость эффективности противоэпидемических мероприятий от затрат материальных 
ресурсов. Также, в модели учтены случаи самовольного прекращения лечения, которые могут 
оказывать серьёзное негативное воздействие на ход эпидемии, смертность по не связанным с 
туберкулезом причинам с вероятностью μ, смертности туберкулеза, вероятность которого μt и 
смертность от ВИЧ.
Исследованы динамические свойства разработанной модели в 

отечественном профессиональном инструменте нового поколения AnyLogic, предназначен 
для разработки и исследования имитационных моделей. Исследование динамических свойств 
разработанной модели популяции необходимо как для качественной, так и для 
количественной 
оценки 
её 
адекватности. 
В 
описанных 
в 
статьи 
экспериментах 

моделировалось развитие эпидемического процесса в популяции, аналогичной региону 
европейской части РФ с использованием предложенной нами модели распространения 
эпидемии туберкулёз-ВИЧ.

Ключевые слова: Медицина; математика; информационная система; имитационная 

модель; туберкулёз; ВИЧ; эпидемии; вероятность; динамические свойства; AnyLogic.

Идентификационный номер статьи в журнале 30TVN114

1 : 170026, г. Тверь, наб. Аф. Никитина, 22.

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

2

http://naukovedenie.ru 30TVN114

Al-Azazi Amin Ahmed

Russia, Tver

E-Mail: aminshic@yahoo.com

Boris Maslennikov

Tver State Technical University

Russia, Tver

E-Mail: Bimnew@yandex.ru

System dynamics simulation model of the spread of the 

epidemic

Abstract: The description of the process of structural and parametric identification of 

simulation model of management epidemiological situation of tuberculosis - HIV. Simulation model 
of the control system on the epidemiological situation of tuberculosis - HIV differs from other 
models involving in its composition effectors treatment processes and active case-finding, and 
consider the impact of spatial transport processes of disease in populations, which allows to predict 
the dependence of the effectiveness of anti-epidemic measures of the cost of material resources. 
Also, the model takes into account the cases of abandonment of treatment, which can have a serious 
negative impact on the epidemic, the mortality rate for unrelated reasons TB with probability μ, 
tuberculosis mortality, the probability that μt and mortality from HIV. The dynamic properties of the 
model developed in the domestic professional new generation tool AnyLogic, designed for research 
and development of simulation models. Investigation of dynamic properties of the population of the 
developed model is required for both qualitative and quantitative assessment for its adequacy. In the 
experiments described in the article simulated the development of the epidemic process in the 
population, similar regions of the European part of Russia with our proposed model of epidemic TB HIV.

Keywords: Medicine; mathematics; information system; simulation model; tuberculosis;

HIV epidemic probability; dynamic properties; AnyLogic.

Identification number of article 30TVN114

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

3

http://naukovedenie.ru 30TVN114

Сохранение и укрепление здоровья населения — важная социально-экономическая 

проблема, 
неотъемлемым 
аспектом 
которой 
является 
снижение 
инфекционной 

заболеваемости. В решении этой задачи предупредительные меры имеют ключевое значение. 
Прогнозирование динамики распространения заболевания позволяет разработать и применить 
адекватные меры противодействия, обеспечить рациональное использование материальных и 
людских ресурсов.

По данным Росстата за 5 последних лет число случаев ВИЧ-инфекции в Российской 

Федерации увеличилось практически в 2 раза. На конец 2009 года на территории Российской 
Федерации проживало 454813 граждан, у которых ВИЧ-инфекция была установлена методом 
иммунного блотинга, что в показателе на 100 тыс. населения составляет 320,5. 
Непосредственной причиной смерти больных на поздних стадиях ВИЧ-инфекции является 
туберкулез (62%).

Значимость проблемы туберкулеза у больных ВИЧ-инфекцией для России связана с 

неблагоприятным прогнозом дальнейшего его распространения, что обусловлено высокой 
инфицированностью населения микобактериями туберкулеза и широким распространением 
ВИЧ-инфекции на отдельных территориях.

Качественный прогноз распространения заболевания достижим только на основе 

адекватных математических моделей. К сожалению, традиционные модели распространения 
заболеваний 
используют 
допущения 
(например, 
однотипность 
индивидуумов, 
их 

непрерывное равномерное перемешивание на моделируемой территории), делающие 
результаты прогнозирования с их помощью недостаточно точными. Учитывая последние 
достижения в области математического и имитационного моделирования, формирование 
моделей, не обладающих такими ограничениями, является в настоящее время вполне 
реализуемой задачей[8-10].

Целью работы является создание модели распространения инфекционных заболеваний 

на примере туберкулеза-ВИЧ, позволяющей выполнить прогноз изменения уровня 
заболеваемости на основе текущих статистических данных.

В работах [1-3] и [5-6] построена модель, предназначенная для предсказания динамики 

уровней инфицированности и заболеваемости туберкулезом (ТБ) на фоне коэпидемии с 
ВИЧ/СПИД.

Более сложная модель воздействия эпидемии ВИЧ/СПИД на процесс распространения 

туберкулеза, описанная в работе [7] учитывает смерть от причин, не связанных с
туберкулезом.

Предлагаемая мной в настоящей работе модель распространения ТБ-ВИЧ, в отличие от 

описанных в [5-7] учитывает наличие системы противоэпидемических мероприятий.

Поскольку не существует абсолютного врождённого иммунитета к данной инфекции и 

люди не рождаются инфицированными микобактериями туберкулёза (МБТ). Таким образом, 
от рождения, с точки зрения статуса по ТБ, все являются здоровыми, но восприимчивыми к 
инфекции. Данная группа обозначается S (susceptible —восприимчивый).

Подвергшиеся аэрогенному, алиментарному или иному воздействию инфекции 

индивиды при неблагоприятных условиях могут получить пассивный ТБ процесс — стать 
инфицированными. Как известно, вероятность заболевания убывает при увеличении времени 
с момента инфицирования. Таким образом, принято считать, что часть инфицированных в 
течении 1-2 лет заболевает активным ТБ, другая (значительно большая) часть остаётся 
инфицированными неопределённо долгое время, пока не заболевает под воздействием 
внутренних (эндогенная реактивация), внешних (экзогенная реактивация или суперинфекция) 

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

4

http://naukovedenie.ru 30TVN114

причин. Группа инфицированных, у которых происходит быстрая активизация процесса 
обозначена If (Infected fast —
инфицированные с быстрым прогрессом). Группа 

инфицированных, не заболевающих в первые годы обозначена
Is
(Infected slow —

инфицированные с медленным прогрессом)[4].

Существует большое количество клинических форм протекания ТБ процесса, однако 

наиболее важным с эпидемиологической точки зрения различием между ними является то, 
выделяет ли больной МБТ в окружающую среду и, соответственно, является ли источником 
заражения окружающих членов популяции. В связи с этим в модели выделены группы 
заразных больных Ta+ (TB active MBT+ - активный ТБ МБТ+) и не распространяющих 
инфекцию Ta- (TB active MBT- - активный ТБ МБТ-).

В результате активного или пассивного выявления больных они ставятся на 

диспансерный учёт, в случае необходимости изолируются и лечатся. Таким образом, 
выявленные больные не являются источником дальнейшего распространения инфекции вне 
зависимости от того, выделяют или не выделяют МБТ в окружающую среду. Для упрощения 
модели все выявленные случаи ТБ объединены группой Tat (TB active treated — активный ТБ 
с лечением). При проведении эффективного курса лечения наступает клиническое излечение, 
кроме того возможно самопроизвольное прекращение ТБ процесса. Теоретически, в этом 
случае индивид становится инфицированным, но не больным ТБ и может входить в группы If 
и Is, однако после выздоровления риск повторного заболевания (рецидива) значительно выше 
чем риск активизации ТБ у ранее не болевшего. По этой причине все случаи прекращения 
активного ТБ относятся в данной модели к группе Tn (TB nonactive — неактивный ТБ).

Очевидно, что скорость перехода индивидов между группами прямо пропорциональна 

численности исходной группы, и её можно определить как V1,2 = p1,2N1, где p1,2 — доля 
членов группы 1, переходящая в группу 2 в течении единичного интервала времени, N1 —
численность группы 1. Коэффициенты перехода между группами далее обозначаются 
греческими буквами. В зависимости от используемого при описании динамики выделенных 
групп аппарата методов данные коэффициенты могут иметь различный смысл. В случае 
детерминированной математической модели они являются константами скорости перехода 
членов популяции между группами, а в случае стохастических моделей коэффициент — это 
вероятность перехода отдельного члена популяции из исходной группы в группу назначения в 
течении единичного временного интервала.

Вероятность инфицирования здорового члена популяции обозначена λ, следовательно 

скорость инфицирования можно определить: 
= λS. Следуя логике разбиения 

моделируемой популяции на группы, можно представить процесс инфицирования, как два 
независимых процесса — инфицирование с последующим быстрым прогрессом заболевания и 
инфицирование с медленным прогрессом. Обозначив p долю инфицированных первого типа 
получим 
,
.

Аналогичным образом находятся выражения для скорости потоков индивидов между 

другими группами. Вероятность активизации ТБ процесса для группы If обозначена α, 
следовательно 
. Доля b индивидов из группы If становится распространителями 

инфекции (попадает в группу Ta+), остальные заболевают ТБ без выделения МБТ (группа Ta). Исходя из этого выражаются 
,
. Обозначив γ вероятность 

заболевания в группе Is, c — долю ТБ с бактериовыделением среди них получим 
,

.

I
S
V ,

Sp
V

fI
S


,
)
1(
,
p
S
V

sI
S

 

f
T
I
I
V

f


,

b
I
V
f
T
I
a
f




,
)
1(
,
b
I
V
f
T
I
a
f






c
I
V
s
T
I
a
s




,

)
1(
,
c
I
V
s
T
I
a
s






Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

5

http://naukovedenie.ru 30TVN114

Как разъяснялось в обзоре эпидемиологии ТБ, у части больных с бактериовыделением 

оно 
самопроизвольно 
прекращается 
со 
временем. 
Вероятность 
прекращения 

бактериовыделения обозначена ζ, а секорость этого процесса 
. Существует 

также вероятность перехода ТБ процесса в неактивную фазу без лечения, обозначенная ε. 
Таким образом, 
и 
. Здесь допущением модели является то, что 

наличие или отсутствие бактериовыделения не влияет на вероятность самопроизвольного 
выздоровления.

Вероятность повторного заболевания в группе неактивного ТБ Tn обозначена ω и 

. Доля заразных форм ТБ среди случаев рецидива обозначается f, откуда 

, 
.

Переход членов моделируемой популяции из групп Τα+ и Τα- в Tn — это выявление 

больных. Как следует из декомпозиции процесса выявления (диаграмма САВ003) 
деятельности по управлению эпидемической ситуацией в регионе России, выявление состоит 
из двух процессов: эффективное на ранних стадиях заболевания, но относительно 
ресурсоёмкое активное выявление и пассивное выявление, практически не требующее затрат. 
Вероятность активного выявления случая ТБ обозначим υa, вероятность пассивного - υp, 
откуда 
,
.

Выявленные случаи ТБ, входящие в группу Tat, выздоравливают как самопроизвольно 

(с вероятностью ε), так и засчёт эффективных курсов лечения. Вероятность успешного 
излечения обозначена χ, поэтому
.

Исходная модель ТБ-ВИЧ описывает последовательные переходы из одного состояния 

в следующее: индивид может быть или неинфицированным ВИЧ (нижний индекс “0”), или 
иметь одну из четырех стадий СПИД по классификации ВОЗ (I, II, III, IV) (нижние индексы 
“1”-“4” соответственно). Инфицирование ВИЧ (переход “0”→“1”) осуществляется с удельной 
скоростью 
, прогрессирование СПИД – с удельными скоростями
, i = 1. . .3.

Неинфицированные индивиды (группа S) инфицируются с удельной скоростью 
(

) и с вероятностью p переходит в группу быстро развивающих болезнь 
или с 

вероятностью (1− p) – в группу медленно развивающих болезнь 
(для больных СПИДом IV 

стадии принимается p = 1, т.е. группа 
исключается из модели) ; индивиды из групп 

развивают стадию инфицирования с удельной скоростью 
и с вероятностью b переходит в 

группу невыявленных больных с бактериовыделением
или с вероятностью (1− b) – в 

группу невыявленных больных без бактериовыделения 
(для больных СПИДом IV стадии 

принимается b = 1, т.е. группа
исключается).

Также, в модели учтены случаи самовольного прекращения лечения, которые могут 

оказывать серьёзное негативное воздействие на ход эпидемии, вероятность которых 
обозначена ρ, доля заразных форм среди них — е, откуда
, 
.На 

рис.1 приведён граф предлагаемой модели распространения ТБ-ВИЧ.

Все параметры рассматриваемой модели распространения ТБ-ВИЧ приведены в 

Таблице 1.





Ta
V
Ta
Ta

,




Ta
V
Tn
Ta

,



Ta
V
Tn
Ta

,

Tn
V
T
Tn


,

Tnf
V
Ta
Tn



,
)
1(
,
f
Tn
V
Ta
Tn









Ta
T
p
a
V
Tat
Ta
*
)
(
,






TTa
p
a
V
Tat
Ta
)
(
,



Tat
V
Tn
Tat


,

0

i




j
ij
j
i
T




fI

sI

sI
fI




a
T


a
T


a
T

e
T
V
Tat
Ta
Tat



,
)
1(
,
e
T
V
Tat
Ta
Tat





Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

6

http://naukovedenie.ru 30TVN114

Рис. 1. Граф переходов модели распространения ТБ-СПИДА

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

7

http://naukovedenie.ru 30TVN114

Таблица 1

Обозначения модели распространения ТБ-ВИЧ

Параметр
Описание

S
Группа здоровых восприимчивых к заболеванию
Группа инфицированных с быстрым прогрессом заболевания

Группа инфицированных с медленным прогрессом заболевания

Группа невыявленных больных с бактериовыделением

Группа невыявленных больных без бактериовыделения

Группа выявленных больных

Группа неактивного ТБ

Α
Вероятность заболевания в группе с быстрым прогрессом

Λ
Вероятность инфицирования здорового члена популяции

Γ
Вероятность заболевания в группе с медленным прогрессом

Ε
Вероятность самопроизвольного выздоровления больных

Ζ
Вероятность самопроизвольного прекращения бактериовыделения

Μ
Вероятность естественной смерти 
Вероятность смерти от ТБ
Вероятность смерти от СПИДА

Ρ
Вероятность самовольного прекращения лечения
Вероятность активного выявления случая ТБ

Вероятность пассивного выявления случая ТБ

Χ
Вероятность эффективного лечения

Ω 
Вероятность рецидива активного ТБ у выздоровевших

B
Доля ТБ с МБТ+ среди заболевших из группы If

C
Доля ТБ с МБТ+ среди заболевших из группы Is

E
Доля ТБ с МБТ+ среди прекративших лечение

Π
Скорость появления новых восприимчивых к популяциям

F
Доля ТБ с МБТ+ среди случаев рецидива

P
Доля лиц с быстрым прогрессом инфекции среди инфицированных
Вероятность инфицирования СПИДОМ

Скорость перехода с одной стадии СПИДА в другую

Детерминированный подход к математическому описанию компартментных моделей 

заключается в том, что популяция, в которой происходят эпидемические процессы считается 
динамической системой. Действительно, с увеличением масштабов популяции растёт и 
численность компартментов, значения которой являются переменными состояния. Хотя они и 
представляют собой агрегаты реальных объектов – индивидов, при больших значениях 
переменные состояния можно считать непрерывными физическими величинами. В этом 
случае поведение системы во времени будет определённым, а её динамику можно описать 
системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Исследование динамических свойств разработанной модели популяции необходимо 

как для качественной, так и для количественной оценки её адекватности. В описанных ниже 

fI

sI


a
T


a
T

at
T

n
T

t

hiv


a


p


0


3,2
,1


Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

8

http://naukovedenie.ru 30TVN114

экспериментах моделировалось развитие эпидемического процесса в популяции, аналогичной 
региону европейской части РФ с использованием предложенной модели. Для этого начальные 
условия эксперимента изменяются. S = 1.4·
, If=Is=Ta-=Tat=Tn=0, 
= 100, 

=1000, 
=10000, что соответствует появлению в популяции ТБ и Вич в 

данный момент времени 100, 1000, и 10 000 больных.

Рис.2. Реакция системы на импульсное воздействие

Как следует из графиков Рис.2, число появившихся распространителей инфекции

влияет на характер развития процесса, на установившееся число инфицированных, и на 
длительность задержки начала эпидемии. Также возможно сделать вывод о том, что в системе 
существует запаздывание изменения числа выявленных и выздоровевших больных от 
изменения числа фактически инфицированных и больных.

6
10
ВИЧ
ТБ
Ta
.
1

ВИЧ
ТБ
Ta
.
2 
ВИЧ
ТБ
Ta
.
3 

TaТБ,ВИЧ=100

0

5

10

15

20

25

0
10
20
30
40
50

t,лет

N

If1

Ta1

Tat1

Tn1

TaТБ=TaВИЧ=1000

0

50

100

150

200

250

0
10
20
30
40
50

t,лет

N

If1

Ta1

Tat1

Tn1

TaТБ=10000 ,Ta ВИЧ=100

0

500

1000

1500

2000

0
10
20
30
40
50

t,лет

N

If1

Ta1

Tat1

Tn1

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

9

http://naukovedenie.ru 30TVN114

ЛИТЕРАТУРА

1.
Беляев В.В. ,Кравченко А.В. Совершенствование противотуберкулезной 
помощи больным ВИЧ-инфекцией 2007. –www.hivrussia.ru/pub/2007.

2. 
Попова А.А., Ситдыкова Ю.Р., Кравченко А.В. и др. Изменения, системы 
иммунитета у больных ВИЧ-инфекцией и Туберкулезом // Эпидемиология и 
инфекционные болезни.2008.-№4. – С.54-55.

3.
А.В. Скворцов, Б.И. Масленников, А.В. Хованов. Компьютерное имитационное 
моделирование в управлении эпидемической ситуацией по туберкулёзу в 
регионе России [Текст] // Математика. Компьютер. Образование. Под ред. 
Ризниченко Г.Ю. Сборник научных тезисов. Выпуск 16, ч.1, М., Ижевск: НИЦ 
≪Регулярная и хаотическая динамика≫, 2009. с. 192.

4.
Аль–Азази А. А., Скворцов А. В., Масленников Б. И. Средства any logic для 
построения моделей системной динамики//Интернет-журнал «Науковедение». 
2013 
№3 
(16) 
[Электронный 
ресурс].-М. 
2013. 
–
Режим 
доступа: 

http://naukovedenie.ru/PDF/50tvn313.pdf, свободный – Загл. с экрана.

5.
Feng Z., Castillo-Chavez C., Capurro A.F. A Model for Tuberculosis with Exogenous 
Reinfection. Theoretical Population Biology. 2000. 57. 235–247. // 237, 249, 254, 
260.

6.
Castillo-Chavez C., Song B. Dynamic models of tuberculosis and their applications. 
Mathematical Biosciences and Engineering. 2004. 1 (2). 361–404. // 207, 249, 260.

7.
Porco T.C., Small P.M., Blower S.M. Amplification Dynamics: Predicting the Effect 
of HIV on Tuberculosis Outbreaks. Journal of Aquired Immune Deficiency 
Syndromes. 2001. 28. 437–444. // 233, 234, 235.

8.
Jay W. Forrestter. Industrial dynamics. Productivity press. Portland Oregon, 1961.

9.
Д. Ю. Каталевский. Основы имитационного моделирования и системного 
анализа в управлении,2011

10.
Карпов Ю. Имитационное моделирование систем. Введение в моделирование с 
AnyLogic 5. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 400 с.

Рецензент:
Дмитриев Г. А., зав. Кафедрой Автоматизации технологических 

процессов, Тверского государственного технического университета, доктор технических наук,
профессор.

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

10

http://naukovedenie.ru 30TVN114

REFERENCES

1.
Belyaev VV Kravchenko AV Improving TB care to patients with HIV in 2007 . www.hivrussia.ru/pub/2007.

2.
Popov AA, Sitdykova YR , AV Kravchenko and other changes of the immune system 
in patients with HIV infection and tuberculosis / / Epidemiology and Infectious 
bolezni.2008 . - № 4 . - P.54 -55 .

3.
A.V. Skvortsov, BI Maslennikov , AV Hovanov . Computer simulation in the 
management of tuberculosis epidemic situation in the region, Russia [Text] / / Math . 
Computer. Education. Ed. Riznichenko GY Collection of scientific abstracts. Issue 16, 
Part 1, Moscow-Izhevsk : NITs "Regular and Chaotic Dynamics ", 2009 . s. 192 .

4.
Al Azaz - AA Skvortsov, AV , BI Tools Maslennikov any logic for modeling system 
dynamics / / Internet magazine " Science of Science ." 2013 № 3 (16 ) [electronic 
resource ] . -M . 2013 . - Mode of access : http://naukovedenie.ru/PDF/50tvn313.pdf, 
free - Caps . from the screen.

5.
Feng Z., Castillo-Chavez C., Capurro A.F. A Model for Tuberculosis with Exogenous 
Reinfection. Theoretical Population Biology. 2000. 57. 235-247 . / / 237 , 249, 254, 
260.

6.
Castillo-Chavez C., Song B. Dynamic models of tuberculosis and their applications. 
Mathematical Biosciences and Engineering. 2004 . 1 (2 ) . 361-404 . / / 207 , 249, 260.

7.
Porco T.C., Small P.M., Blower S.M. Amplification Dynamics: Predicting the Effect 
of HIV on Tuberculosis Outbreaks. Journal of Aquired Immune Deficiency 
Syndromes. 2001 . 28. 437-444 . / / 233 , 234, 235.

8.
Jay W. Forrestter. Industrial dynamics. Productivity press. Portland Oregon, 1961 .

9.
D. Yu Katalevsky . Fundamentals of simulation and analysis system to manage, 2011

10.
Karpov Yu Simulation modeling systems. Introduction to modeling with AnyLogic 5 . 
St. Petersburg. : BHV- Petersburg, 2006. – 400.