Теоретические исследования контактных давлений в очаге деформации при раскатке труб

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

1

http://naukovedenie.ru 23TVN114

УДК
621.7.04

05. 07. 02 - Проектирование, конструкция и производство летательных аппаратов

Хейн Вин Зо

«МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Россия, Москва

Кандидат технических наук

Докторант кафедры Технология Производства Летательных Аппаратов «ТПЛА»

E-Mail: taryar4ever@gmail.com

Теоретические исследования контактных давлений

в очаге деформации при раскатке труб

Аннотация: Процессы локального деформирования (ротационная вытяжка, раскатка, 

ротационный обжим и другие) по сравнению с традиционными операциями обработки 
металлов давлением обладают рядом достоинств: меньше деформирующее усилие, простота 
технологической оснастки, большие степени формоизменения заготовки.

Большая трудоемкость работ на этапе технологической подготовки производства в 

самолетостроении связана в известной мере с тем, что при изготовлении деталей возможности 
пластического деформирования исходной заготовки всегда ограничены, поэтому и в 
теоретическом, и в практическом плане важное значение имеют методы обработки, которые 
увеличивают предельные деформации заготовки. Это ведет к уменьшению технологических 
операций и переходов, что, в конечном итоге, снижает трудоемкость изготовления деталей. 
Поэтому исследования в области локального деформирования являются актуальными.

Работа связана с совершенствованием методов расчета напряженно-деформированного 

состояния в операциях штамповки при изготовлении деталей летательных аппаратов, основы 
которых были заложены российскими и зарубежными учеными.  

Ключевые слова: Контактные давления в очаге деформации в зонах отставания; 

торможения; ускорения и опережения.

Идентификационный номер статьи в журнале 23TVN114

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

2

http://naukovedenie.ru 23TVN114

Hein Win Zaw

«MATI – Russian State Technological University named after K.E. Tsiolkovsky»

Russia, Moscow

E-Mail: taryar4ever@gmail.com

Theoretical studies of the contact pressure in the deformation 

zones of rotary pipe expansion

Abstract: Processes of local deformation (rotary expansion, forming, rotary crimp and 

others) compared to traditional metal forming operations have a number of advantages: less 
deforming force, simple tooling, forming large extent workpiece.

A large volume of work for technological production preparation stage in aircraft to a certain 

extent connected with the fact that the possibility of the manufacture of components of plastic 
deformation of the original billet is always limited, so theoretically and in practice are important 
processing methods that increase the limiting deformation of the workpiece. This leads to a reduction 
in processing steps and transitions, which ultimately reduces the complexity of manufacturing 
details. Therefore, research in the field of local deformation are relevant.

This article is concerned with the improvement of methods of stress-strain state in stamping 

operations in the manufacture of aircraft parts, whose foundations were laid by Russian and foreign 
scientists.

Keywords: Contact pressures in the deformation: the backlog; the braking the acceleration 

and timing zones.

Identification number of article 23TVN114

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

3

http://naukovedenie.ru 23TVN114

Примем основные предположения и допущения применительно к симметричному 

процессу раскатки в следующем виде [1, 2,3,4 и 11]:

●
деформированное состояние плоское (z =0);

●
кривизна заготовки много меньше кривизны деформируемых оправок;

●
очаг 
деформации 
симметричный 
относительно 
срединной 
поверхности  

заготовки;

●
напряжения 
за границами очага деформации отличны от нуля;

●
контактное трение (рис. 1) подчиняется закону Амонтона – Кулона в зонах 

отставания и опережения и равно максимальной величине в зонах прилипания (торможения и 
ускорения).

Рис. 1. Расчетная схема раскатки для определения контактных давлений 

Решим указанную задачу следующим образом.

Разобьем длину контакта заготовки и инструмента на 4 зоны:  зону отставания 1;  зону 

торможения 2; зону ускорения 3 и зону опережения 4. В зонах 1 и 4 будем использовать закон  
Амонтона-Кулона; в зонах 2 и 3 будем считать трение максимальным.

Для зоны 1 - зоны отставания (рис. 2) имеем следующую систему уравнений.

Уравнение равновесия, которое применительно к решаемой задаче запишется в виде:

.                                               (1)

Условие пластичности для этой зоны запишем в приближенном виде:

.                                                         (2)

Касательные напряжения от сил контактного трения запишутся в виде:









R

r

Зона
Зона

отставания
опережения

Зоны

прилипания

1

2

3

4

от
оп









М




0
d

d

























 S

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

4

http://naukovedenie.ru 23TVN114

.                                                    (3)

Рис. 2. Расчет контактных давлений в зоне отставания 1

Контактное давление 
определим путем совместного решения уравнений (1) и (2).  

Последовательно получим.

, где    
(4)

.

.

.                     
(5)

Последнее выражение (5) есть дифференциальное уравнение типа:

, решение которого выражается формулой

.               
(6)

Поэтому общее решение уравнения (5) имеет вид:

;

;

;









 к

σθ

ρ
dρ

σρ+dσρ
σρ

σθ

ρθ

ρθ





0
d

d

S






















S

0
)
(
d

d

S

S


















0
d

d
S
S







































1
d

d
S

)
x
(
Q
y
)
x
(
P
'y













 

dx
)
x
(
P
dx
)
x
(
P
e
1
С
e)
x
(
dxQ
y






































d
d

S
e
1
С
e
1
d

































1
С
1
d

S
































1
С
d
1

1

S

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

5

http://naukovedenie.ru 23TVN114

;

;

.                                              (7)

Определим С1 из граничных условий: 
при  
(рис. 1). Имеем: 

.                                         (8)

Подставим С1 в (7) , последовательно получим

;

;

.                                (9)

Из последнего выражения (9) и условия пластичности (2) получим искомую величину :   

или:

.

Окончательно имеем выражение для расчета контактного давления 
в зоне 1 в виде:

,        
(10)

где   
(как средняя подынтегральная величина);  
- величина подпора со 

стороны входа заготовки в очаг деформации.













































1
С
1
S























1
С
1
1
S
























1
С
1
S

*



R


























R
1
R
1
С
S

*


















































R
1
R
1
S

*

S

































































R
1
R
.
1
S

*

S

































































R
R
1
1

*

S

S








































































R
R
1
1

*

S
S














































































R
1
R
1
1

*

S

const
S 


*


Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

6

http://naukovedenie.ru 23TVN114

Для зоны 2 - зоны прилипания-торможения (рис. 3)  считаем величину контактного 

трения максимальным. В результате имеем следующую систему уравнений.

Рис. 3. Расчет контактных давлений в зоне 2

Уравнение равновесия для зоны 2 имеет вид:

.                   
(11)

Здесь условие пластичности записывается в виде [1]:

,                              
(12)

Последнее условие (12) следует из выражения  
, 

если 
.

Из (11) и (12) имеем   
,   где 
.

Далее последовательно получим:

;

;

.

Окончательно распределение радиальных напряжений имеет вид

,                    
(13)

σθ

ρ
dρ

σρ+dσρ
σρ

σθ

ρθmaxs/2



ρθmax=s/2

0
d

d
max 
















0










2
S

2

s

2
4












2

S

max







0
d

d
max 










2

S

max





0
2
d

d
S 

































ОТ
ОТ

d

2
d
S

от

S ln
2

ОТ












от

от
S ln
2























Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

7

http://naukovedenie.ru 23TVN114

Из условия (12) следует 
и, соответственно, величина контактных давлений 

равна  

,                      
(14)

где, в соответствии с (14),   
.

Для зоны 3 - зоны прилипания-ускорения (рис. 4) также считаем величину 

контактного трения максимальным. В результате имеем следующую систему уравнений.

Рис. 4. Расчет контактных давлений в зоне ускорения 3

Уравнение равновесия  имеет вид

,              
(15)

где 
.   

Условия пластичности   в форме (17): 
.

Совместное решение (15) и (12) имеет вид

;   

;

;







от

от
S ln
2
























































































от

*

S

от

S

R
R
1
1

от

σθ

ρ
dρ

σρ+dσρ
σρ

σθ

ρθmaxs/2



ρθmaxs/2

0
d

d
max 
















2

S

max





0







0
d

d
max 










0
2
d

d
S 































ОП
ОП

d

2
d
S

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

8

http://naukovedenie.ru 23TVN114

;

Окончательно (из условия:
) получим

,                    
(16)

где, согласно (9),   

Рис. 5. Расчет контактных давлений в зоне опережения 4

Для зоны 4 - зоны опережения (рис. 5)  имеем следующую систему уравнений.

Уравнение равновесия

.                      
(17)

Условие пластичности

.                               
(18)

Касательные напряжения от сил контактного трения равны 

.                         
(19)

По аналогии с решением, приведенным для зоны 1, получим. Совместное решение (18) 

и (19) имеет вид

.                    
(20)

Произвольную постоянную С1 определим из граничных условий: 
при  

(рис. 1).    Имеем:     
;

оп

S ln
2

ОП













оп

оп

S ln
2






























ОП

оп

S ln
2






































 

























 
















r
r
1
1

оп
*
*

S

оп

S
ОП

σθ

ρ
dρ

σρ+dσρ
σρ

σθ

ρθ

ρθ



0
d

d

























 S









 к






















1
С
1
S

*
*


 
r






















r1
С
1
S

*
*

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

9

http://naukovedenie.ru 23TVN114

.             
(21)

Подставим (21) в (20), окончательно получим

.                        
(22)

Из условия пластичности  и последнего выражения (22) получим искомую величину 

в зоне 4 (зоне опережения).

,   
(23)

где 
(как средняя подынтегральная величина) 
- величина подпора со 

стороны выхода заготовки из очага деформации.

Таким образом, контактные давления в очаге деформации в зонах 1, 2, 3, и 4 

определены. Определим теперь внутренние границы указанных зон.

Из условия, что на границе зон отставания 1 (рис. 1) и прилипания-торможения 2, где 

, условия контактного трения одинаковые, имеем  
. Поставив 

соответствующее значение 
, получим

(24)

или с учетом отрицательного значения 
:

.               
(25)  

После преобразований выражения (25) окончательно будем иметь следующее 

соотношение радиусов зоны 1:                                

.  
(26)

























r
1
r
1
С
S

*
*











 




















 
















r
r
1
1

*
*

S














 
































 
















r
1
r
1
1

*
*

S

const
S 


*
*


от



2

S








2

R
1
R
1
1
S

от

*

от

S
























































































































































2

1
R
1
R
1
1

от
S

*

от
















































S

*

от
1

2

2
1

R

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

10

http://naukovedenie.ru 23TVN114

Например: 

1) если 
; 
;  
получим

.

2) если 
; 
;  
получим

.

Из приведенного примера видно влияние напряжения 
, действующего на 

границе входа материала заготовки в очаг деформации, на размер зоны 1. И это влияние 
существенное.

Определим размер зоны 4 (рис. 1) из тех же условий. Имеем:

.          
(27)

Окончательно получим

.      
(28)

Влияние величины подпора 
на размеры зоны опережения 4  (рис. 1) определим на 

примере:

1) если 
, 
; 
из (28) получим   
;

2) если 
, 
; 
,  то .

Из приведенных расчетов видно, что влияние подпора со стороны выхода заготовки 

меньше, чем со стороны входа, примерно в 2,0 раза.

0
/
S

*



1,0


3,0



25
,1
67
,0

6,0

2,0
1

3,0
1,0
1

3,0.2

1,0.2
1

1

2

2
1

R

33
,
0

3
,
0

1,
0

от



















 







































































2,0
/
S

*




1,0


3,0



15
,1
2,0
67
,0

6,0

2,0
1

R

33
,
0

от






































0

* 




2
r
1
r
1
1

S
оп
*
*
оп

S











 



































 





































































 

S

*
*

оп

1

2

2
1

r

*
*


0
/
S

*
*



1,0


3,0


145
,1
r

оп






 

2,0
/
S

*
*




1,0


3,0


09
,1
r

оп








 