Модель М-го симметричного канала с квантовым шумом

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

1

http://naukovedenie.ru 11TVN114

УДК 621.396.2 + 621.391.64

Мясин Константин Игоревич

ГКОУ ВПО «Академия Федеральной службы охраны Российской Федерации»

Россия, Орёл1

Сотрудник

E-Mail: fmmc@mail.ru

Модель М-го симметричного канала 

с квантовым шумом

Аннотация: В связи с ростом объёмов передаваемой информации, расширением 

перечня телекоммуникационных услуг и одновременным повышением требований к их 
качеству перед операторами Единой сети электросвязи
России возникает проблема 

увеличения пропускной способности имеющихся линий связи. Некоторые операторы уже 
перешли на технологию когерентного приёма в своих волоконно-оптических транспортных 
сетях связи (ВОСС) [1]. Однако такой переход не всегда экономически оправдан ввиду 
высокой стоимости оборудования.

Многоуровневые
форматы модуляции сочетают в себе высокую спектральную 

эффективность и устойчивость к воздействию дисперсии, что обуславливает их применения 
при необходимости увеличения скорости передачи в действующих системах связи со 
спектральным уплотнением.

В настоящей статье рассматривается модель волоконно-оптического канала связи, 

позволяющая находить оптимальное расположение уровней сигналов с многоуровневой 
модуляцией интенсивности (IM-M). Данная модель построена в соответствии с постулатами 
квантовой электродинамики и имеет хорошую сходимость к результатам известных 
исследований.

Предложенная
модель может быть применена для решения широкого класса 

оптимизационных задач синтеза и анализа волоконно-оптических линий связи с 
многоуровневыми сигналами.

Ключевые слова:
Волоконно-оптические системы передачи; многоуровневые 

сигналы; некогерентный приём; сигнальное созвездие; модуляция интенсивности; квантовый 
шум; модель канала связи; помеха; оптическое отношение сигнал-помеха (ООСП); фотон.

Идентификационный номер статьи в журнале 11TVN114

1 302034, г. Орёл, ул. Приборостроительная, д. 35

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

2

http://naukovedenie.ru 11TVN114

Konstantin Myasin

The Academy of Federal Security Guard Service of the Russian Federation

Russia, Orel

E-Mail: fmmc@mail.ru

The model of M-ary symmetrical channel 

with quantum noise

Abstract: In connection with volumes of the transferred information grow, the list of 

telecommunication services extends and at the same time increase the quality requirements. Russian 
operators of Uniform telecommunication network should solve the problem of increasing the 
throughput of existing lines. Some Russian operators have already moved to coherent detection 
technology in own fiber-optic transport network. However, this transition is uneconomical due to the 
high cost of equipment.

Multilevel modulation formats include high spectral efficiency and resistance to dispersion, it 

is useful for increasing the transmission rate in communication systems with wavelength division 
multiplexing. 

Article presents a model of fiber-optic channel model, which allows finding the optimal 

location of the signal levels with multilevel modulation intensity (IM-M). The model is create 
according to postulates of quantum electrodynamics and has good convergence to results of known 
researches. 

This model can be a solution to many optimization problems of synthesis and analysis of 

fiber-optical communication lines with multilevel signals.

Keywords: Fiber-optic communication systems; multilevel signals; no coherent detection; 

signal stars; intensity modulation; quantum noise; model of communication channel; optical signal to 
noise ratio; photon.

Identification number of article 11TVN114

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

3

http://naukovedenie.ru 11TVN114

Как показано в работах [2–5] разумный баланс между пропускной способностью и 

ценой обеспечивают некогерентные волоконно-оптические системы передачи (ВОСП) при 
использовании сигналов повышенной информационной ёмкости. Изучение предметной 
области выявило недостаток моделей, пригодных для описания волоконно-оптических 
каналов связи с такими сигналами. Имеющиеся модели не учитывают влияние квантового 
шума, либо не позволяют описывать сигналы IM-M.

В соответствии с [6], каналы связи, в которых квантовый шум ограничивает качество 

приёма сообщений, называются квантовыми. Квантовые каналы обладают специфическими 
свойствами [6] выделяющими их в отдельный класс:

●
тепловой шум может быть пренебрежимо мал;

●
параметры сигнала случайны;

●
принимаемые 
сигналы 
необходимо 
рассматривать 
во 
временных 
и 

пространственных координатах одновременно;

●
затруднена согласованная фильтрация и пространственная селекция и др.

Рассмотрим участок ВОСП до фотодетектора. Такой подход позволяет создать 

универсальную модель, не зависящую от быстроразвивающейся компонентной базы 
фотодетекторов, схем постобработки сигнала и помехоустойчивых кодеров. В рамках данного 
ограничения показателем качества решения задачи синтеза многоуровневого оптического 
сигнала удобно выбрать отношение оптического сигнала к мощности оптической помехи 
(ООСП, OSDR). ООСП позволяет определить «чистый» выигрыш от применения того или 
иного сигнального созвездия, безусловно, применение новейших фотоприёмных устройств и 
мощных каскадных помехоустойчивых кодов позволят получить меньшее значение 
коэффициента ошибок чем непосредственная конвертация ООСП.

Цель моделирования: получить аналитические выражения, описывающие зависимость 

системных параметров (скорости и качества передачи) в главном оптическом тракте (ГОТ) от 
управляемых параметров ВОСП в условиях применения многоуровневых линейных сигналов.

ООСП по определению:

,       
(1)

где Pс – мощность оптического сигнала; Pп – мощность оптической помехи, 

включающая мощность оптического шума. Учитывая, что в оптическом диапазоне 
электромагнитных волн kT<<hν [7], а значит шумами источника и среды за исключением 
квантового можно пренебречь.

Сигнал на входе фотодетектора, в общем виде представляет суперпозицию полезного 

сигнала и помехи:

,    
(2)

где q(t) – полезный сигнал, определяемый численным методом в соответствии с [8] из 

начальных условий, определяющих огибающую оптического импульса, формируемую 
источником оптического излучения; n(t) – квантовый шум.

Энергия сигнала s(t) определяется

п

c
P
P
OSDR 

)
(
)
(
)
(
t
n
t
q
t
s



Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

4

http://naukovedenie.ru 11TVN114

,     
(3)

мощность

.             
(4)

Так как сигнал на входе фотоприёмного устройство представляет собой случайный 

процесс2, то мощность конкретной реализации позволяет определить лишь текущее значение 
показателя сигнал-помеха. Математическое ожидание случайного процесса s(t), напротив, 
позволяет вычислить ООСП. Искомое математическое ожидание (М[x]) мощности можно 
вычислить 

.                        (5)

Данное выражение сдержит матожидание мощности полезного сигнала, шума и 

неразделимую смесь сигнала и шума, так же характеризующее мощности оптической помехи. 
Тогда мощность помехи:

.             
(6)

Слагаемые (5) для случая систем со спектральным разделением каналов (ВОСП-СР)

можно определить в системе базисных ортонормированных функций [9] с учётом количества 
спектральных каналов (СК):

,                       (7)

где Nск – количество спектральных каналов в системе ВОСП-СР, qi(t) – оптический 

сигнал на i-й несущей; νi(t) – оптическая несущая i-го спектрального канала как функция 
времени; ai – относительная координата точки сигнального созвездия оптического сигнала 
(принимает значения из отрезка [0; M – 1]);

,
(8)

2 В соответствии с принципом неопределенности в элементарном сигнале, заданном частотой несущей и 

амплитудой огибающей может быть однозначно детерминирована только средняя энергия сигнала [6].




T

dt
t
s
E

0

2 )
(





T

c
dt
t
s
T
T
E
P

0

2 )
(
1

 










































T
T
T

T

c

dt
t
n
T
dt
t
n
t
q
T
dt
x
q
T

dt
t
n
t
n
t
q
x
q
T
P

0

2

0
0

2

0

2
2

)
(
1
)
(
)
(
2
)
(
1

)
(
)
(
)
(
2
)
(
1












T
T

п
dt
t
n
T
dt
t
n
t
q
T
P

0

2

0

)
(
1
)
(
)
(
2



 














































ск
ск
ск
N

i

i
i

N

i

i
i

N

i

i
a
t
a
t
t
q
t
q

1
1
1

)
(
)
(
)
(
)
(















































ск
ск
N

j
i

j
i
j
i

N

j
i

j
i
j
i
a
a
t
t
a
a
t
t
t
q

1
1

1
1

2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

5

http://naukovedenie.ru 11TVN114

,                                     (9)

.                                               (10)

C учётом изложенного выражение для выбранного показателя качества (1) можно 

переписать:

,                           (11)

причём, учитывая условие ортонормированности несущих ВОСП-СР [3, 7, 9]:

,               
(12)

.               
(13)

Таким образом, числитель (11) можно записать как

,           (14)

учитывая что

,                                                 (15)















ск
N

i

i
i
i
t
n
a
t
t
n
t
q

1

)
(
)
(
)
(
)
(






















ск
N

i

i t
n
t
n

1

2
2
)
(
)
(


























































T N

i

i

T N

i

i
i
i

T N

j
i

j
i
j
i

T
T

T

dt
t
n
dt
t
n
a
t

dt
a
a
t
t

dt
t
n
T
dt
t
n
t
q
T

dt
x
q
T

OSDR

ск
ск

ск

0
1

2

0
1

0

1
1

0

2

0

0

2

)
(
)
(
)
(
2

)
(
)
(

)
(
1
)
(
)
(
2

)
(
1

























T

i

T

j
i
j
i
dt
t

j
i

dt
t
t

0

2

0
,1
)
(

,
,0

)
(
)
(



 
 

 

















j
i
a

j
i
a
a

a
a

i

j
i

j
i
,

,
,

2




   

 













































ск

ск

ск

N

i

i

ск

N

j
i

j
i

ск
T N

j
i

j
i
j
i

j
i
a
N

j
i
a
a
N

dt
a
a
t
t

1

2

1
1

0
1
1

,
1

,
,0
0

)
(
)
(

  







M

m

im
im
i
p
A
a

1

2
2

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

6

http://naukovedenie.ru 11TVN114

выражение (14) запишем

,      
(16)

где Aim – амплитуда символа с m-м уровнем в i-ом СК; pim – вероятность передачи 

символа с m-м уровнем в i-ом СК. Выражение (16) описывает среднее значение оптического 
сигнала в световоде (одновременно во всех спектральных каналах).

Аналогичным образом перепишем знаменатель выражения (11) с целью получения 

зависимости показателя качества только от известных параметров.

Представим шумовую компоненту в виде разложения в обобщённый ряд Фурье:

,                        
(17)

где φik(t) – элементарная функция обладающая энергией фотона (Eφi = hνi) на частоте i
ого спектрального канала в k-ой временной интервал; ηik – количество посылок φi(t) в течение 
интервала времени [k – 1; k); K – количество элементарных посылок φi(t) на длительности 
импульса сигнала (см. рис. 1).

Известно [7], что квантовый шум (КШ) пропорционален квадратному корню мощности 

сигнала (см. рис. 1, a). Площадь фигуры под огибающей КШ можно аппроксимировать 
некоторыми функциями времени (φik(t)). Такое представление хорошо согласуется с 
положениями квантовой электродинамики (КЭД) [10], ведь количество фотонов КШ счётно. 
Таким образом, (17) не является математической абстракцией, а имеет вполне определённый 
физический смысл. В одном спектральном канале функции (φik(t)) различаются только 
временным интервалом своего действия, определяемым индексом времени:

,             
(18)

где τи – длительность оптического импульса, определяемая как 1/R (R – техническая 

скорость передачи информации). Каждой функции (φik(t)) ставится в соответствие 
коэффициент (ηik), определяющий количество элементарных функций, необходимых для 
аппроксимации мгновенного (во временном интервале [k – 1; k)) значения огибающей КШ. В 
общем случае длительность введённой функции (φik(t)) может быть произвольной (см. рис. 1, 
в), однако, амплитуда должна быть такой, чтобы выполнялось требование к мощности этой 
функции (18). Единственное требование к длительности функции (φik(t)), которое 
использовано при выводе конечного уравнения – равенство всех временных интервалов 
дискретизации (k1 = k2 = … = kK).






















ск
ск
N

i

M

m

im
im

T N

j
i

j
i
j
i
j
i
p
A
dt
a
a
t
t

1
1

2

0
1
1

,
)
(
)
(










K

k

ik
ik
i
t
t
n

1

)
(
)
(




















и

и

i

и

k
k
t
h

k
k
t

P ik
)1
;
[
,

,
)1
;
[
,0

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

7

http://naukovedenie.ru 11TVN114

Рис. 1. Представление квантового шума в виде элементарных посылок φik(t)

Учитывая (17) и свойство линейности [11] математического ожидания можно записать:

. (19)

Так как, функция φik(t) ортогональна как по частотной (i) (16) так и по временной (k) 

(18) координатам, то при (k ≠ k`) правая часть (19) обращается в ноль, в противном случае:

. 
(20)

Второй 
начальный 
момент 
от 
количества 
элементарных 
функций 
φik(t) 

по определению [11]:

.                             
(21)

.                                                (22)

.                                           (23)

Здесь и далее записаны выражения для непрерывной случайной величины в связи с 

удобством интегрирования некоторых выражений, а, следовательно, упрощения вычислений. 
Позже будет осуществлён переход к дискретным случайным величинам (с учётом природы 
электромагнитного излучения оптического диапазона).











 




























































































































ск

ск
ск

ск
ск

N

i

K

k

K

k

T

ik
ik
ik
ik

N

i

K

k

K

k

T

ik
ik
ik
ik

N

i

T
K

k

ik
ik

T N

i

K

k

ik
ik

T N

i

i

dt
t
t

dt
t
t
dt
t

dt
t
dt
t
n

1
1
1
`
0

`
`

1
1
1
`
0

`
`

1
0

2

1

0
1

2

1
0
1

2

)
(
)
(

)
(
)
(
)
(

)
(
)
(
























































ск
ск
ск
N

i

K

k

ik
i

N

i

K

k

T

ik
ik

T N

i

i
h
K
dt
t
K
dt
t
n

1
1

2

1
1
0

2
2

0
1

2
1
)
(
1
)
(


 












0

2
2
)
(
ik
ik
ik
ik
d













i
i
ik
ik
da
a )
,
(
)
(



)
(
|
)
,
(
i
i
ik
i
ik
a
a
a








0
t

A
Сигнал

Квантовый 

шум

Nφ·φik

k
0

A

Aφ = (hν/tφ)1/2

t
0

A

τφ1

Eφ

τφ2

Eφ=hν

τφ3

φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7

φ φ

φ

φ
φ
φ

φ
φ
φ

φ
φ
φ

φ
φ
φ
φ
φ

φ
φ

φ

1

7

2

η

3 4 5 6 6

1
3
5

a)
б)
в)

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

8

http://naukovedenie.ru 11TVN114

Аналогично (17), можно записать разложение в обобщённый ряд Фурье для полезного 

сигнала. Базисной функцией так же будет элементарная функция (φik(t)), а коэффициентами 
разложения – количество таких функций на k-ом временном интервале:

.                                                   (24)

Используя введённое число элементарных функций, аппроксимирующих полезный 

сигнал, условную плотность вероятности в выражении (23) можно представить через 
двумерную ФРПВ:

, 
(25)

где 
Nik
–
количество 
функций 
(φik(t)), 
описывающих 
полезный 

сигнал (аналогично рис. 1).

Исходя из условия (18), количество функций (φik(t)), применяемое для аппроксимации 

сигнала и шума, имеет смысл количества фотонов сигнала (N) и шума (η) соответственно. Как 
показано выше, это не противоречит теории современной КЭД.

Вообще говоря, определить среднее значение фотоотсчётов хаотического светового 

поля (M[ηi]) для заданного спектра достаточно трудно, этот вопрос освещён с позиций КЭД в 
[10]. По этой причине в настоящей работе вывод модели построен без непосредственного 
вычисления матожидания числа шумовых фотонов. То есть из нескольких возможных 
уравнений, дающих искомый результат, предпочтение отдаётся тому, которое не содержит 
трудно вычислимого компонента.

Значение огибающей оптического импульса (a), количество сигнальных фотонов (N) и 

количество шумовых фотонов (η) связаны между собой стохастической зависимостью:

.                                                       (26)

Учитывая это, условную двумерную плотность вероятности в выражении (25) можно 

записать упрощённо:

.    
(27)

Количество шумовых фотонов в конкретной реализации (рис. 2) сигнала можно 

определить как модуль центрированной случайной величины:

.                                                    (28)










K

k

ik
ik
i
t
t
q

1

)
(
)
(



































ik
i
ik
i
ik
ik
ik
i
ik
ik
i
ik
d
a
a
d
a
a
)
|
(
,
|
|
,
|

ik
ik
ia









ik
ik
i
ik
ik
a







|
,
|



ik
ik
ik
N
N





Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

9

http://naukovedenie.ru 11TVN114

Рис. 2. Сигнал и квантовый шум во временной области

В соответствии с выражением (16) для любого спектрального канала справедливо:

,
(29)

в то же время, учитывая (24), можно записать равенство интегралов вторых начальных 

моментов: 

.           
(30)

При условии ортонормированности несущих (14), ортогональности элементарных 

функций φik(t), а так же взаимной независимости3 (Nik), (30) записывается в виде:

.       
(31)

Количество излучаемых фотонов (Νi) за равные временные интервалы (τи) случайно. 

Подходы к описанию статистик фотоотсчётов базируются на исследованиях Ф.Т. Арецци, 
который в 1966 году экспериментально доказал гипотезы Р. Дж. Глаубера [11]. Суть гипотез 
состоит в том, что некогерентный (хаотический) источник оптического излучения с 
достаточной 
точностью 
описывается 
распределением 
Бозе-Эйнштейна, 
фотоотсчёты 

когерентного источника подчинены закону Пуассона, а распределение Лагерра описывает 
смесь узкополосного гауссова шума и монохроматического (или турбулентного) поля, т.е. 
является промежуточным между монохроматичным и хаотическим. Следует отметить, что 
статистики Бозе-Эйнштейна и Лагерра относятся к классу условно-пуассоновских процессов, 
что характеризует общность математического аппарата, описывающего квантовые явления. 

3 В установившемся режиме излучения для супергауссовского импульса, сформированного внешним 

модулятором  среднее количество фотонов излучённых в различные k-е временные интервалы приблизительно 
одинаково (M[Nik`] ≈ M[Nik]). В противном случае импульс супергауссовой формы не имел бы плоской вершины.

i
i
i
a
t
t
q



)
(
)
(
















































































































 


















K

k

T

ik
ik

K

k

K

k

T

ik
ik
ik
ik

K

k

ik
ik
i
i

dt
t
K

dt
t
t

dt
t
dt
t
a

1
0

2
2

1
1
`
0

`
`

2

1

2

)
(
1

)
(
)
(

)
(
)
(

 













K

k

ik

i

i

ск
K
h
a
N
1

2
2
1

0

A

Сигнал
Квантовый шум

t
0

A

t

M[Nф]

Nф

Nшф1 = Nф1 - M[Nф]

*

*

о

оNшф2 =M[Nф] - Nф2

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ»
Выпуск 1, январь – февраль 2014
Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

Институт Государственного управления, 

права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Связаться с редакцией: publishing@naukovedenie.ru

10

http://naukovedenie.ru 11TVN114

Таким образом, опираясь на работы [10, 12, 7] и полагая излучение лазера 

передающего 
оптического 
модуля 
когерентным 
и 
монохроматичным, 
статистику 

фотоотсчётов можно описать законом Пуассона:

,                                        (32)

другими словами условная плотность распределения вероятности:

.                                    (33)

Огибающая оптического сигнала
изменяется значительно медленнее несущего 

колебания (νi(t)). Исходя из этого, количество фотонов, излучённых в различные k-е 
временные интервалы, можно считать2 независимым и распределённым в соответствии с 
законом Пуассона (32). Используя данное свойство и стационарность [11] пуассоновского 
случайного процесса:

,       
(34)

откуда

.        
(35)

или используя (15):

.            
(36)

Таким образом, выражение (33) может быть записано в виде:

.         
(37)

Учитывая (28) и определение дельта-функции [11] выражение (27) трансформируется к 

виду:

.                                   (38)

Матожидание числа сигнальных фотонов в k-й интервал времени в i-ом спектральном 

канале можно найти, используя свойство пуассоновской случайной величины [11]:

,            
(39)

.                                        (40)

Решая квадратное уравнение (40) относительно матожидания числа сигнальных 

фотонов получим единственный корень, имеющий физический смысл:









i

i

i

i

i

p












exp
!









ik

ik

ik

i
ik

ik

a













exp
!
|

 

 K
K
h
a
N
i

i

i

ск








2
2
1



 

i
ск

i

i
h
N

a









2

2






i
ск

M

m

im
im

i
ik
h
N

p
A














1

2

2
2

































































i
ск

M

m

im
im

ik
i
ск

M

m

im
im

i
ik
h
N

p
A

h
N

p
A

a

ik

1

2

1

2

exp
!

1
|







ik
ik
ik
ik
ik
ik
ik













|
|









ik
ik
ik
ik
D










2
2







0
2
2









ik
ik
ik