Моделирование динамических процессов методом точечных представлений

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ  И  НАУКИ  РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ 
 
СИБИРСКИЙ  ФЕДЕРАЛЬНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
В. В. Осипов  
 
 
МОДЕЛИРОВАНИЕ  ДИНАМИЧЕСКИХ  
ПРОЦЕССОВ  МЕТОДОМ  ТОЧЕЧНЫХ  
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ  
 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2012 

УДК 519.6 
ББК  22.192.3 
0-741 
 
Рецензенты: 

А. М. Попов, доктор физико-математических наук, профессор, ди
ректор института информатики и телекоммуникаций Сибирского государственного аэрокосмического университета; 
В. П. Григорьев, доктор физико-математических наук, профессор, 
зав. кафедрой прикладной математики института кибернетики Томского политехнического университета; 
В. И. Гончаров, доктор технических наук, профессор, зав. научнообразовательной лабораторией мехатроники, профессор каф. интегрированных компьютерных систем управления Томского политехнического университета 
 
 
 
 
 
 
Осипов, В.В. 
0-741 
 
Моделирование динамических процессов методом точечных 
представлений: монография / В.В. Осипов. – Красноярск : Сиб. 
федер. ун-т, 2012. − 304 с. 
ISBN 978-5-7638-2538-1 
 
В монографии рассматриваются теоретические вопросы моделирования 
многомерных функциональных представлений и многомерных линейных 
нестационарных систем управления, а также различные теоретические аспекты терминального управления в одномерных динамических системах 
методом точечных представлений на смежных чебышевских сетках.  
Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и инженеров, использующих в своей работе методы прикладной математики. 
 
УДК 519.6 
ББК 22.192.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7638-2538-1                              © Сибирский федеральный университет, 2012           

Введение 

3 

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
Математическое моделирование − это математическое описание 
разнообразных объективно существующих реальностей: явлений 
и систем различной природы, процессов и сигналов, многообразных 
зависимостей и причинно-следственных связей. 
При этом классы и типы математических моделей как математические объекты сами становятся предметами теоретических исследований в различных разделах прикладной математики и не только прикладной, развивая и обогащая их новыми идеями и направлениями. 
Для моделирования таких процессов и их взаимодействий (в линейных стационарных системах) широко используется метод операторно-частотных представлений, основанный на применении преобразования Лапласа и Фурье. Однако этот математический аппарат оказался в общем случае не конструктивным при переходе к временным 
оригиналам, неэффективным и малопригодным для решения задач современной теории управления динамическими системами, связанных 
по своему содержанию с конечным промежутком времени. Это задачи 
управляемости и наблюдаемости, а особенно разнообразные задачи 
терминального управления и др. Этот аппарат совершенно не годится 
для описания (моделирования) нестационарных и нелинейных динамических систем. Другие математические методы, используемые в современной теории управления динамическими объектами (общая теория дифференциальных и интегральных уравнений, функциональный 
анализ и др.), играющие фундаментальную роль, в прикладном отношении также часто оказываются недостаточно конструктивными и мало приспособленными для компьютерной реализации. 
Отметим также математический метод, основанный на замене 
непрерывных (аналоговых) сигналов их значениями в дискретные 
моменты времени (квантование) с последующей аппроксимацией 
дифференциальных 
уравнений 
соответствующими 
разностными 
уравнениями. 
Используемое при этом дискретное преобразование создает аналитический аппарат моделирования непрерывных динамических систем, более конструктивный, чем традиционный подход. 
Вместе с тем этот аппарат в значительной степени сохраняет 
и те же недостатки, которые присущи традиционному подходу, основанному на преобразовании Лапласа. 

Введение 

4 

В связи с этим остается актуальной разработка эффективных 
приближенно-аналитических методов моделирования и решения на 
их основе разнообразных задач прикладной теории управляемых динамических систем. 
В этом отношении, в частности, представляется весьма эффективным метод точечных представлений (точечного моделирования), 
который позволяет достаточно просто преобразовывать и приближенно представлять в векторно-матричной форме линейные дифференциальные уравнения разного типа (с постоянными и переменными коэффициентами), описывающие динамические системы на 
конечных временных промежутках. В результате разнообразные задачи теории управления формулируются как задачи линейной алгебры и конечномерного функционального анализа, для решения 
которых может быть использован имеющийся уже мощный арсенал 
вычислительных методов. В сущности он использует принципы 
теории представления алгебраических структур − одного из фундаментальных разделов современной математики. Возникающие при 
этом конечномерные модели есть гомоморфные образы соответствующих объектов, имеющие максимально возможную степень адекватности, увеличивающуюся с ростом размерности до  нулевой эквивалентности. 
Данная работа является продолжением исследований, опубликованных в [64−78], где были рассмотрены точечные модели скалярных 
(одномерных) функциональных представлений, построенных на основе смежных чебышевских N-сеток. 
Это точечные модели обыкновенных линейных дифференциальных уравнений n-го порядка общего вида и эквивалентных им интегральных уравнений, а также различные аспекты точечного обращения интегральных преобразований Лапласа и Фурье. 
Полученные точечные решения соответствующих задач при любом конечном N оказываются гомоморфными отображениями элементов функциональных алгебраических структур, что с ростом N 
обеспечивает их сходимость к точным решениям через сплайновые 
представления. Проведенные расчеты показывают высокую эффективность метода.  
Его эффективность сохраняется и при решении задач многомерной прикладной математики. Это задачи Коши для n-мерных линейных дифференциальных уравнений общего вида, задачи управляемости и наблюдаемости, устойчивости линейных нестационарных сис

Введение 

5 

тем, а также задачи терминального управления. Ниже излагаются основные аспекты точечного моделирования и решения таких задач. 
Автор выражает глубокую признательность и благодарность 
всем родным и близким, а особенно своему отцу, учителю и коллеге 
д.ф-м.н., профессору В. М. Осипову, за понимание и всяческую помощь в написании данной работы.  
Все замечания и предложения автор примет с благодарностью 
по электронной почте: vv-osipov@ya.ru. 
 
 
 

Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений 

6 

Глава 1 
 
ТОЧЕЧНОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ  МНОГОМЕРНЫХ 
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ  ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 
 
 
1.1. Точечные представления вектор­функций  
и некоторых операций с ними 
 
Пусть 
( ), (
(1, );
0
ix t
i
n t
=
≥
 компоненты вектор-функции  
 

1
( )
[
( ),... ( ),...
( )]
i
n
X t
Colon x t
x t
x
t
=
                     (1.1.1) 
 
есть ограниченные и непрерывные скалярные функции при всех 
0
t ≥
, 
определенные на любом конечном промежутке [0, T]. 

Введем новую (безразмерную) переменную, полагая 
t
T
τ =
, 

[0,1]
τ∈
 или t = Tτ. Однако возникший параметр T в обозначении аргумента функций будем указывать лишь в необходимых случаях, т. е. 
будем писать:  
 

( )
(
)
( )
1, ;
[0,1];
i
i
i
x t
x T
x
i
n
=
τ ⇒
τ
∀ =
τ∈
 
 

1
( )
(
)
( )
[
( ),... ( ),...
( )];
[0,1].
i
n
X t
X T
X
Colon x
x
x
=
τ ⇒
τ =
τ
τ
τ
τ∈
   (1.1.2) 
 
Вектор-функция X (τ) (1.1.2) покоординатно окажется непрерывной на отрезке [0, 1] и, следовательно, определенной на каждой из 
смежных чебышевских сеток: 
 

I
(
)
2
1,(
1,
)
2

T
N
v
v
v
N
N
−
τ ⎯⎯→τ
=
=
 и 
II
(
)
, (
0,
)
T
N
v
v
v
N
N
τ ⎯⎯→θ
=
=
,     (1.1.3) 

 
причем при любых N. 
Заметим, что вектор-функция X (τ) (1.1.2) будет определена на 
сетках (1.1.3) и в тех случаях, когда она покоординатно окажется кусочно-непрерывной и ограниченной на [0, 1], т. е. когда её функциональные координаты будут принадлежать M (0,1), а сама векторфункция − n-мерному векторному пространству 
(0,1)
n
M
. В таких 

Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений 

7 

случаях они будут принадлежать и пространству 
( )
1 (0,1)
n
L
, т. к. окажутся абсолютно интегрируемыми при любых конечных T: 
 

1
1

0
0
0
( )
(
)
( )
; (
1, )

T

i
i
i
x t dt
T
x T
d
T
x
d
i
n
=
τ
τ =
τ
τ < ∞
=
∫
∫
∫
.         (1.1.4) 

 
Значения вектор-функции 
( )
X τ  (1.1.2) в узлах чебышевской Nсетки I рода 
(
), (
1,
)
N
v
v
N
τ
=
 порождают множество из N n-мерных векторов:  
 

(
)

I

I
(
)
( )
,
(
1,
)
T
N
v
v
X
X
X
v
N
τ ⎯⎯→
τ
=
=
,                    (1.1.5) 

 
из которых, как из блочно-векторных компонент, взятых в их естественном порядке, можно образовать блочный N-вектор:  
 

I

I

I
I
I
I
I

I

1

1
( )
[
]
T
v
T
v
N

N

X

X
X
X
Colon X
X
X

X

⎡
⎤

⎢
⎥

⎢
⎥

⎢
⎥

⎢
⎥
τ ⎯⎯→
=
= ⎢
⎥

⎢
⎥

⎢
⎥

⎢
⎥

⎢
⎥
⎣
⎦

,          (1.1.6) 

 
который, очевидно, может рассматриваться в роли точечного изображающего вектора вектор-функции X (τ) (1.1.2), ассоциированного 
с чебышевской N-сеткой I рода. 
Аналогично можно образовать и точечный изображающий вектор 

II
T
X
, ассоциированный с чебышевской сеткой II рода. Однако 

здесь должна быть отмечена одна особенность, связанная с выделением из совокупности n-векторных значений вектор-функции X (τ) 

(1.1.2) в узлах сетки II рода 
(
)
(
0,
)
N
v
v
v
N
N
θ
=
=
 – одного значения 

в нулевом узле, т. е. нулевого значения X (0), так же, как это было 
сделано в скалярном случае [78]. Такое выделение возникает автоматически, в частности при решении задач Коши для линейных дифференциальных уравнений. 

Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений 

8 

Из возникшей совокупности n-векторов  
 
(
)

II

II
(
)
( )
,
(
1,
)
T
N
v
v
X
X
X
v
N
τ ⎯⎯→
θ
=
=
 и 
0
(0)
X
X
=
          (1.1.7) 

 
может быть построен точечный изображающий блочно-векторный Nвектор вектор-функции X (τ) (1.1.2), ассоциированный с чебышевской 

N-сеткой II рода 
(
)
,
(
1,
)
N
v
v
v
N
N
θ
=
=
 с дополнительным указанием её 

нулевого значения: 

II

II

II
II
II
II
II

II

1

1
0
( )
[
]
;
(0)
.
T
v
T
v
N

N

X

X
X
X
Colon X
X
X
X
X

X

⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
τ ⎯⎯→
=
=
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

1.1.8) 

 
Точечные N-векторы 

IT
X  и 

II
T
X
, ассоциированные со сложными 

N-сетками (1.1.3), связаны между собой приближенным соотношени
ем с порядком точности не хуже 
2
1
0
N
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
: 

 

II
I
(
)
1
0
[(
)
]
(
)
2
N

N
n
T
n
T
E
Z
E
X
e
E
X
X
+
⊗
+
⊗
=
,            (1.1.9) 

 
обобщая «скалярный» вариант связи такого рода, подробно рассмотренный в [78]. Символом ⊗ обозначено, как и ранее, кронекеровское 
произведение матриц. 
В нашем случае имеем произведение единичной матрицы – 
столбца 
(
)
1
, (
1)
N
e
N ×
 − и матрицы 
(
)
n
E
n
n
×
: 

 

(
)

0

(
)
1
0
0
0
0

0
0

n

N
n

E
X

e
E
X
X

⎡
⎤
⎡
⎤

⎢
⎥
⎢
⎥

⎢
⎥
⎢
⎥

⎢
⎥
⎢
⎥
⊗
=
⋅
=
⎢
⎥
⎢
⎥

⎢
⎥
⎢
⎥

⎢
⎥
⎢
⎥

⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦

,                        (1.1.10) 

Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений 

9 

где нулями обозначены нулевые n-векторные блоки и кронекеровское 
произведение [(
)
]
N
n
E
Z
E
+
⊗
, определяющее блочную тёплицеву 
матрицу (N×N) вида 
 

[(
)
]

n

n
n
N
n

n
n

E
E
E
E
Z
E

E
E

⎡
⎤

⎢
⎥

⎢
⎥
+
⊗
= ⎢
⎥

⎢
⎥

⎣
⎦

.                  (1.1.11) 

 
Итак, имеем некоторые линейные операторы, реализующие точечные изображения 

I
I

II
II

   

   

( )

T
T

T
T

X

X
X
τ ,                                       (1.1.12) 

 
ставящие в однозначное соответствие всякой вектор-функции 
( )
X τ  
(1.1.2) из пространства 
(0,1)
n
M
 (
1)
n ≥
 точечный блочный вектор из 
векторного пространства 
Nn
R
, ассоциированный либо с чебышевской 

N-сеткой I рода 
(
)
2
1, (
1,
)
2

N
v
v
v
N
N
−
τ
=
=
, либо со смежной N-сеткой II 

рода 
(
)
, (
1,
)
N
v
v
v
N
N
θ
=
=
, причем с выделением нулевого значения 

X(0) вектор-функции X (τ). 
Формульное представление этих операторов и алгебраические 
свойства точечных отображений рассмотрим позднее, а сейчас найдем точечные представления наиболее употребительных операций 
над вектор-функциями вида (1.1.2), причем в силу линейного преобразования (1.1.9), связывающего смежные точечные изображения, будем использовать в основном аналитически более удобные точечные 
представления, ассоциированные с N-сетками I рода, хотя в ряде случаев неизбежно использование и смежных точечных представлений. 
1. Пусть вектор-функции Y (τ) и X (τ) из пространства Mn (0,1), 
имеющие точечные изображения 

IT
Y  и 

IT
X  соответственно, связаны 

линейным преобразованием, осуществляемым квадратной матрицей 
[
]
( )
( )
n
ik
A
a
τ =
τ
, т. е. 

Глава 1. Точечное моделирование многомерных функциональных представлений 

10 

( )
( )
( );
[0,1].
Y
A
X
τ =
τ ⋅
τ
τ∈
                        (1.1.13) 
 
Будем предполагать, что все элементы 
( )
( ,
1, )
ik
a
i k
n
τ
=
 матрицы A(τ), (n×n) есть функции из M (0, 1) и, в частности, непрерывны на 
[0,1], следовательно, они определены в узлах N-сетки I рода при любых N. Определенной в этом смысле окажется и сама матрица A(τ), 
(n×n). 
Очевидно, равенство (1.1.13) сохранится в каждом узле N-сетки 

I рода 
(
)
2
1, (
1,
)
2

N
v
v
v
N
N
−
τ
=
=
, поэтому можем написать систему из N 

равенств: 
 
(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
) , (
1,
)
N
N
N
v
v
v
Y
A
X
v
N
τ
=
τ
⋅
τ
=
.           (1.1.14) 

 
Введем блочную диагональную (квазидиаганальную) матрицу 
 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,...
,...
,
(
)
N
N
N
N
v
N
N
v
Diag A
A
A
D
A
N
N
⎡
⎤
⎡
⎤
τ
τ
τ
=
τ
×
⎣
⎦
⎣
⎦
,     (1.15) 

 
с помощью которой система (1.1.14) запишется компактно в виде одного равенства для точечных изображающих векторов из 
Nn
R
: 
 

(
)
I
I
(
)
N
T
N
v
T
Y
D
A
X
⎡
⎤
=
τ
⋅
⎣
⎦
 .                        (1.1.16) 

 
Таким образом, линейное преобразование (1.1.13) в пространстве 
Mn(0,1) вектор-функции отображается в векторном пространстве 
Nn
R
 точечных представлений в виде линейного преобразования (1.1.16) соответствующих точечно-векторных изображений, осуществляемого блочной 
диагональной матрицей (1.1.15), которая является точечной моделью (точечным представлением) функциональной матрицы A(τ). 
В частном случае, когда A (τ) = A = const, точечное представление (1.1.15) получит вид 
 
[ ]
[
]
,...
,...
(
)
N
N
D
A
Diag A
A
A
E
A
=
=
⊗
             (1.1.17) 

 
и, следовательно, будем иметь 
 

I

I
I
( )
( )
(
)
.
T
T
N
T
Y
A X
Y
E
A
X
τ =
⋅
τ ⎯⎯→
=
⊗
⋅
         (1.1.18)