Аналитическая электростатика на плоскости. Характеристические мультиполи относительно точки и их приложения. Часть 2

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
В.П. Казанцев 
 
 
 
Аналитическая электростатика на плоскости 

Характеристические мультиполи  
относительно точки и их приложения 
 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2012 

УДК 517+530.1 
ББК 22.33 
К 14 
 
 
Рецензент: А.К. Цих, д‐р физ.‐ мат. наук, проф. 
 
 
 
 
Казанцев, В.П. 
К 14 Аналитическая электростатика на плоскости. Характеристические 
мультиполи относительно точки и их приложения / В.П. Казанцев.‐ 
Красноярск: Сиб. федерал. ун‐т, 2012. – 747 с. 
ISBN 978‐5‐7638‐2414‐8 
 
 
 
 
 
На базе вариационных принципов электростатики развит аппарат 
характеристических мультиполей кривых относительно точек, позво‐
ливший, в частности, построить конструктивное решение задачи многих 
тел электростатики проводников. Основы разработанного аппарата бы‐
ли заложены в предыдущих работах автора, обобщенных в монографии 
«Аналитическая электростатика на плоскости», изданной в 2008 г. Си‐
бирским федеральным университетом. 
 
 
 
 
УДК 517+530.1 
ББК 22.33 
 
 
ISBN 978‐5‐7638‐2414‐8 
© Сибирский федеральный 
 
университет, 2012 
 
© Казанцев В.П., 2012 

Глава 5. Характеристические мультиполи кривой относительно точки и… 

293 

Глава 5 
Характеристические мультиполи кривой относи‐
тельно точки и вариационные оценки емкости 
экранированного провода 

5.1. 
Первая и вторая вариационные оценки снизу емкости 
экранированного провода 

Прежде чем приступить к описанию вариационной схемы решения 
задачи о емкости экранированного провода на основе аппарата харак‐
теристических мультиполей кривых относительно точки получим неко‐
торые простые вариационные оценки для этой величины, которые могут 
оказаться полезными для практики инженерных расчетов в силу своей 
простоты. 
Электрическое поле вне провода аппроксимируем полями точечно‐
го заряда и точечного диполя , расположенными в точке ̃ , лежа‐
щей внутри провода. На экране такое поле наведет заряды такие, что 
электрический потенциал экрана будет равен нулю. В области экрана 
электрическое поле будет равно нулю, вне провода и экрана комплекс‐
ный потенциал этого поля можно записать в виде 

Γэ, ̃, ̃2̃
(5.1) 

Πэ, ̃, ̃Πэ, ̃, ̃, 

где Γэ, ̃, ̃функция Грина области, ограниченной экраном; 
Πэ, ̃, ̃Πэ, ̃, ̃потенциал характеристического ди‐
поля той же области относительно её внутренней точки ̃. Источники 
комплексного потенциала (5.1) лежат на границах провода и экрана. 
Внутри провода комплексный потенциал этих источников можно опре‐
делить по формуле 

Γэ, ̃, ̃Γп, ̃, ̃(5.2) 

Πп, ̃, ̃Πэ, ̃, ̃Πп, ̃, ̃Πэ, ̃, ̃. 

Глава 5. Характеристические мультиполи кривой относительно точки и… 

294 

Здесь Γп, ̃, ̃функция Грина области провода; Πп, ̃, ̃Πп, ̃, ̃комплексный потенциал характеристического диполя 
области провода относительно её внутренней точки ̃. 
При получении оценок для емкости экранированного провода пол‐
ный заряд провода считаем фиксированным, а составляющие ди‐
польного момента провода и находим при минимизации элек‐
тростатической энергии зарядов, распределенных по границам провода 
и экрана. Эту энергию удобно представить как сумму собственных энер‐
гий зарядов провода и экрана, п и э, а также энергии взаимодействия 
этих зарядов пэ. 
Для значения энергии п можно записать 

п 4ln п̃1
2 · п
̃· · п̃,     5.3
где п̃внутренний конформный радиус провода относительно 
точки ̃; п
̃матрица, обратная матрице дипольной поляризуемо‐
сти провода относительно точки ̃; 

· п̃Re пRe п; 
5.4 пΠп̃, ̃, ̃;  пΠп̃, ̃, ̃. 

Для собственной энергии зарядов экрана э имеем 

э 4ln э̃1
2 · э
̃· · э̃,     5.5
где э̃внутренний конформный радиус экрана относительно точ‐
ки ̃; э
̃матрица, обратная матрице дипольной поляризуемости 
экрана относительно точки ̃; 

· э̃Re эRe э; 
5.6 эΠэ̃, ̃, ̃;  эΠэ̃, ̃, ̃. 

Энергия взаимодействия зарядов экрана и провода, как это можно 
заметить, будет равна взятой с отрицательным знаком удвоенной собст‐
венной энергии зарядов экрана, то есть 

пэ 2э.                                                  5.7) 

Глава 5. Характеристические мультиполи кривой относительно точки и… 

295 

Для полной энергии с помощью соотношений (5.3) – (5.7) находим 

п э 4ln э̃п̃1
2 · п
̃э
̃· 
· п̃э̃.                                  5.8
Минимуму энергии (5.8) будут отвечать величины 

п
̃э
̃· п̃э̃; 

min 4ln э̃п̃                          5.9
2п̃э̃· п
̃э
̃· п̃э̃. 

Истинное значение функционала энергии и, в рассматриваемой 
нами задаче о емкости экранированного провода может быть выражено 
через емкость провода C как 

и 2.                                             5.10
С другой стороны, согласно вариационному принципу Гаусса, на основе 
которого в монографии [2] были развиты методы вариационных оценок 
емкостей и емкостных коэффициентов систем проводников, имеет ме‐
сто неравенство 

и ,                                             5.11
справедливое для любых распределений заряда по границе провода 
при условии постоянства его полного заряда . Принимая во внимание 
соотношения (5.9) – (5.11), приходим к неравенствам 

2ln э̃п̃; 

(5.12) 
2ln э̃/п̃
2п̃э̃· п
̃э
̃· п̃э̃. 

Глава 5. Характеристические мультиполи кривой относительно точки и… 

296 

Неравенства (5.12) с практической точки зрения наиболее интерес‐
ны для экранированного провода кругового сечения. Если обозначить 
радиус сечения провода , комплексную координату центра сечения , 
то согласно результатам параграфа 1.4 можно записать 

п̃|̃ |; п
̃1

2п̃̂; 

Πп̃, ̃, ̃̃ 2п̃; Πп̃, ̃, ̃̃ 2п̃; 5.13
п̃1

2п̃; . 

Определяющие соотношения (5.13) существенно упрощаются, когда 
точка ̃ совпадает с центром сечения провода: 

п; п0; ; п
2̂.       5.14
Неравенства (5.12) могут быть оптимизированы путем вариации их 
правых частей по внутренней точке провода ̃ . Рассмотрим, например, 
известную задачу о емкости провода, экранированного параллельной 
ему проводящей плоскостью. Пусть на комплексной плоскости экрани‐
рующей плоскости соответствует прямая 0, а круговому проводу круг || , лежащий в правой полуплоскости. Для экрана анало‐
гами формул (5.13) будут служить соотношения 

э̃2Re ̃; э
̃1

2э̃̂; 

Πэ̃, ̃, ̃1

2э̃; Πэ̃, ̃, ̃2э̃;   5.15
э̃1

2э̃1;  0. 

Первое неравенство (5.12) в рассматриваемом здесь примере примет 
вид 

2ln 2Re ̃
|̃ |.                                   5.16

Глава 5. Характеристические мультиполи кривой относительно точки и… 

297 

Минимум знаменателя правой части этого неравенства достигается, ко‐
гда 

̃ .                                        5.17
При этом правая часть неравенства (5.16) совпадет с точным значением 
емкости экранированного провода 

2ln 2Arch .                        5.18
Обратим внимание на то, что неравенства (5.12) также будут иметь 
место, если экраном служит второй провод. В этом случае эти неравен‐
ства служат оценками для емкости системы двух проводов. В частности, 
для двух проводов кругового сечения с радиусами , и центрами в 
точках , первое неравенство (5.12) примет форму 

2ln |̃ ||̃ |.                                5.19
Максимуму правой части неравенства (5.19) соответствует 

̃ 5.20
2 ||||4||, 

а сама правая часть при условии (5.20) совпадает с точным значением 
емкости 

2Arch ||2||
Arch ||2||
. 5.21
Первая оценка (5.12) для кругового провода будет тем точнее, чем 
больше расстояние от оси провода до экрана по сравнению с радиусом 
провода. Вторая оценка уточняет первую и может служить оценкой по‐
грешности неравенств (5.12) в том смысле, что если правые части этих 
неравенств будут отличаться на величину малую по сравнению с самими 
правыми частями, то качество оценок (5.12) можно будет признать хо‐
рошим. Проиллюстрируем сказанное примером. Найдем оценки емко‐

Глава 5. Характеристические мультиполи кривой относительно точки и… 

298 

сти кругового провода, экранированного параллельной ему плоскостью, 
(5.12), полагая в них ̃ , и сравним их с точной величиной емкости 
(5.18) для различных значений /. С помощью соотношений (5.14) и 
(5.15) по формулам (5.12) находим 

2ln 2;  2ln 24 .       5.22
Численные результаты сравнения оценок (5.22) с точными значениями 
емкости кругового провода, экранированного параллельной ему плос‐
костью, (5.18) приведены в табл. 5.1. Из таблицы, в частности, видно, что 
оценки (5.22) оказались точнее, чем мы ожидали. Они могут быть ис‐
пользованы не только, когда расстояние от провода до экрана значи‐
тельно превосходит радиус провода, но и когда это расстояние сравни‐
мо с радиусом провода. Так, при отношении расстояния от оси провода 
до плоскости к радиусу провода равном 1,5, отличие оценки от точ‐
ного значения близко к 1 %. Представляется, что в отсутствие точных 
решений оценки (5.12) могут при решении практических задач давать 
приемлемую точность. Проиллюстрируем это примерами. 

Таблица 5.1 
Сравнение оценок (5.22) емкости провода кругового сечения,  
экранированного параллельной ему проводящей плоскостью  
с точным значением емкости (5.18) 

/1,25 
1,5 
2 
3 
5 
10 

/21,091357 
0,910239 
0,721348 
0,558111 
0,434294 
0,333808 

/21,377762 
1,027103 
0,757789 
0,567154 
0,436208 
0,334088 

/21,442695 
1,039043 
0,759326 
0,567296 
0,436218 
0,334088 

5.2. 
Оценки емкости провода кругового сечения,  
экранированного двумя параллельными ему  
взаимно перпендикулярными плоскостями 

Обратимся к неравенствам (5.12), в которых следует учесть, что со‐
гласно результатам параграфа 3.2 

э̃2sin 2; |̃|; arg ̃ ;       5.23

Глава 5. Характеристические мультиполи кривой относительно точки и… 

299 

э
̃1

2э̃
1 1
4 sin2cos 21
4 sin21
4 sin21 1
4 sin2cos 2.           5.24
Πэ̃, ̃, ̃1
21
2̃ 21
2; Πэ̃, ̃, ̃1
22̃ 1
22; 

э̃1
22; 
2
1
2э̃sin; cos.                          5.25
Для первого неравенства (5.12) с помощью соотношений (5.13) и 
(5.23) записываем 

2ln 1
;  п̃э̃|̃ |sin 2 .              5.26
При расчете второй оценки следует использовать формулы: 

п
̃э
̃2п̃1 16 sin2
1 1 1
4 sin2cos 24 sin24 sin21 1 1
4 sin2cos 2; 5.27
2п̃э̃1
п̃sin; cos. 

Когда ̃ , последняя формула (5.27) упрощается 

2п̃э̃1
э̃sin; cos. 

Глава 5. Характеристические мультиполи кривой относительно точки и… 

300 

В этом случае вторая оценка (5.12) принимает форму 

2ln 1
                                         5.28
161 sincos4sin2cos2sin2161 sin2. 

В частности, если точка пересечения осью провода комплексной плос‐
кости лежит на биссектрисе координатного угла, в полученном неравен‐
стве следует положить /4, при этом правая часть неравенства су‐
щественно упрощается. В результате имеем 

2ln 1
4 3.                             5.29
Заметим, что при расположении центра сечения провода на биссектрисе 
координатного угла путем оптимизации неравенства (5.26) по положе‐
нию точки ̃ получаем 

21

ln 2 .                           5.30
Эта оценка уточняет вместе с оценкой (5.29) самую простую оценку ем‐
кости 

21

ln .                                       5.31
В табл. 5.2 проведено сравнение оценок, рассчитанных по форму‐
лам (5.29) – (5.31), между собой, а также с весьма точными оценками, 
приведенными в параграфе 8.1.10 монографии [2]. Как видно из 
табл.5.2, оценки (5.29) при /1,25 имеют погрешность не более 1,5 
%. Такую же погрешность следует ожидать для оценок (5.28) при 
/1,25 и /1,25. 
Отметим также, что полученные здесь оценки могут быть использо‐
ваны для расчета емкости симметричной двухпроводной линии, экра‐
нированной параллельной ей проводящей плоскостью. Чтобы найти ем‐
кость линии, достаточно уменьшить найденную здесь емкость экрани‐
рованного провода вдвое.