Геометрия и графика, 2024, № 4

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А
Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523
Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru 
http://www.infra-m.ru
Главный редактор: 
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор, МИРЭА — 
Российский технологический университет, 
институт тонких химических технологий (МИТХТ)
Выпускающий редактор:  
Склянкина Д.С.
Отдел подписки:  
Травкина А.  
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 222 
e-mail: podpiska@infra-m.ru
© ИНФРА-М, 2024
Подписано в печать 25.12.2024  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 
САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru
СОДЕРЖАНИЕ
НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
Сальков Н.А.   
Определение расстояний между геометрическими 
фигурами интерактивным методом . .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 3
МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ
Бойков А.А., Кадыкова Н.С. 
Инженерная геометрия как фундаментальное 
ядро инженерной подготовки специалистов .. .  .  .  . . . . 15
Егиазарян К.Т., Баянов Е.В.
Опыт участия студентов РТУ МИРЭА на 
всероссийских и международных олимпиадах 
по геометро-графическим и инженерным 
дисциплинам .. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Иващенко А.В., Степура А.В.
Моделирование эллипсоидов средствами 
nanocad в рамках учебного процесса .. .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . 51
2024. Том 12. Вып. 4
Научно-методический журнал
Выходит 4 раза в год
Издается при поддержке:
МИРЭА — Российского технологического университета, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) 
им. В.И. Сурикова, Омского государственного 
технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)
2024. Vol. 12. Issue 4
Scientific and methodological journal
Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181
GEOMETRY & GRAPHICS
ISSN 2308-4898
DOI 10.12737/issn.2308-4898
Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 
Анатасян Сергей Левонович, д-р пед. наук, профессор.
	
Московский педагогический государственный университет 
(МПГУ), Москва (Россия).
	
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
	
Российский химико-технологический университет имени  
Д.И. Менделеева (Россия).
	
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).
Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
	
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
	
Tula State University, Tula (Russia).
Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор,  
кавалер ордена и медали Франциска Скорины.	
	
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова 
(Беларусь).
	
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).
Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
	
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, 
Санкт-Петербург (Россия).
	
St. Petersburg State University of Telecommunications named 
after Professor M.A. Bonch-Bruevich (Russia).
Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент.
	
МИРЭА — Российский технологический университет (Россия).
	
Russian Technological University (Russia).
Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University 
of Kassel, Kassel (Germany).
Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
	
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. 
В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
	
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Russia).
Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
	
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
	
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).
Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
	
МИРЭА — Российский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
	
Russian Technological University (Russia).
Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
	
МИРЭА — Российский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
	
Russian Technological University (Russia).
Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
	
Софийский технический университет, София (Болгария).
	
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).
Ломов Станислав Петрович, действительный член (академик) 
Российской академии образования, академик-секретарь 
Отделения общего среднего образования РАО, д-р пед. наук, 
профессор. Московский государственный областной университет, Москва (Россия).
	
Moscow Region State University, Moscow (Russia).
Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
	
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).
	
Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named 
after A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, Moscow 
(Russia).
Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev 
Institute-JCT, Jerusalem (Israel). Ariel University, Science Park, 
Ariel (Israel).
Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
	
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).
	
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).
Плоский Виталий Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, 
президент Украинской ассоциации по прикладной геометрии, 
проректор по научной работе. Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев (Украина). 
	
Kiev National University of Construction and Architecture, Kiev 
(Ukraine).
Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
	
Нижегородский государственный архитектурно-строительный 
университет, Нижний Новгород (Россия). 
	
Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 
Nizhny Novgorod (Russia).
Присланные рукописи не возвращаются.
Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых 
материалов.
Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским 
материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить 
в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с 
авторами. Поступившие в редак-цию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.
Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции.
При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.
Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.
Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
	
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
	
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).
Согомонян Коля Амазаспович, д-р техн. наук, профессор. Армянский 
национальный политеxнический университет. Ереван (Армения).
	
Armenian National Polytechnic University, Yerevan (Armenia).
Субочева Марина Львовна, д-р пед. наук, профессор.
	
Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 
Москва (Россия).
	
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, 
Innsbruck (Austria).
Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology, Vienna 
(Austria).
Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
	
Пермский национальный исследовательский политехнический 
университет, Пермь (Россия).
	
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).
Толок Алексей Вячеславович, д-р техн. наук, профессор. Московский  
государственный технический университет «СТАНКИН» (Россия). 
STANKIN Moscow State Technical University, Moscow (Russia)
Шаронова Наталья Викторовна, д-р пед. наук, профессор. Московский педагогический государственный университет (МПГУ), Москва 
(Россия).
	
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор. Московский государственный университет имени  
М.В. Ломоносова, Москва (Россия).
	
Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia).
Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
	
Московский государственный технический университет имени 
Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
	
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).
Weiss Günter, Professor, Vienna University of Tehnology, Vienna (Austria).
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 
Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
МИРЭА — Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), гл. редактор (Россия).
Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
	
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
первый зам. гл. редактора (Россия).
Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
	
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, зам. гл. редактора (Россия).
Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. 
МИРЭА — Российский технологический университет, зам. гл. 
редактора (Россия).
Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
	
МИРЭА — Российский технологический университет, ответственный секретарь (Россия).
Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
	
Омский государственный технический университет (Россия).
Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).
Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподаватель. 
МИРЭА — Российский технологический университет (Россия). 
Ефремов Алексей Вячеславович, старший преподаватель  
МИРЭА — Российский технологический университет (Россия).
Егиазарян Карен Тигранович, канд. хим. наук, доцент, МИРЭА — 
Российский технологический университет (Россия).
2

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2024
УДК 514:378
DOI: 10.12737/2308-4898-2024-12-4-3-14
Н.А. Сальков
Канд. техн. наук, профессор,
Московский государственный академический 
художественный институт имени В.И. Сурикова,
Россия, 109004, г. Москва, Товарищеский переулок, д. 30
Определение расстояний между 
геометрическими фигурами 
интерактивным методом 
Аннотация. Задачи, связанные с расстоянием, постоянно 
встречаются в различных вариантах в промышленности, транспорте, математическом программировании и даже в космосе. 
В основном эти задачи встречаются там, где имеет место 
движение геометрических фигур. При этом речь идет не о 
расстоянии между центрами масс, как мы встречаем в физике, а о расстоянии от поверхности одной геометрической 
фигуры до поверхности другой. Особенно ярко эти задачи 
проявляются в компьютерных играх, где, как показано в паре 
скринов в тексте статьи, второстепенные «жители», так называемые Non-Player Character (NPC), очень эффективно вклеиваются в текстуры окружающей игрока обстановки. В работе показывается общее геометрическое положение проблемы, 
геометрическое и математическое решения вопроса: расстояние между двумя линиями, между линией и поверхностью, 
между двумя поверхностями, а также привлечение эквидистантных поверхностей в качестве посредников – все это с привлечением аналитического и дифференциального аппаратов 
исследования. Затем рассматриваются компьютерные решения: 
линейный поиск, линейно-последовательный поиск, маятниковый поиск, односторонний поиск решения задачи. Затем 
рассматриваются ограничения, которые могут быть наложены 
на геометрические фигуры. В конце статьи говорится о простоте расчета в компьютерных играх: довольно странно, что, 
имея в арсенале игр такие, которые занимают на винчестере 
многие гигабайты памяти, разработчики до сих пор не смогли 
справиться с такой мелкой для имеющейся скорости вычисления в процессорах несуразностью. Данная статья поможет им 
в кратчайший срок победить сей недостаток. 
Ключевые слова: прикладная геометрия, инженерная геометрия, начертательная геометрия, расстояние между геометрическими фигурами, дистанция.
Salkov N.A.
Ph.D. in Engineering, Professor,
Moscow State Academic Art Institute named after V.I. Surikov,
30, Tovarishcheskiy per., Moscow, 109004, Russia
Determining the Distances between Geometric 
Shapes Using the Interactive Method 
Abstract. Distance-related tasks are constantly encountered in 
various ways in industry, in transportation, in mathematical programming, and even in space. Basically, these tasks occur where 
there is a movement of geometric shapes. In this case, we are not 
talking about the distance between the centers of mass, as we find 
in physics, we are talking about the distance from the surface of 
one geometric shape to the surface of another. These tasks are 
especially pronounced in computer games, where, as shown in a 
couple of screenshots in the text of the article, secondary "inhabitants", the so-called Non-Player Character (NPC), are very effectively glued into the textures of the environment surrounding the 
player. The paper shows the general geometric position of the 
problem, geometric and mathematical solutions to the problem: 
the distance between two lines, between a line and a surface, between 
two surfaces, as well as the use of equidistant surfaces as intermediaries – all this using analytical and differential research tools. 
Then computer solutions are considered: linear search, linear sequential search, pendulum search, one-way search for a solution 
to the problem. Then the constraints that can be imposed on geometric shapes are considered. In the end, it talks about the simplicity of calculation in computer games: it is rather strange that, 
having in the arsenal of games such as those that occupy many 
gigabytes of memory on a hard drive, developers still have not been 
able to cope with such a small incongruity for the available computing speed in processors. This article will help them to overcome 
this disadvantage in the shortest possible time.
Keywords: applied geometry, engineering geometry, descriptive 
geometry, distance between geometric shapes, distance. 
НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 4. 3–14
Задачи, связанные с определением расстояний, 
постоянно встречаются в промышленности [2; 9; 11; 
12], в задачах математического программирования 
[5; 22; 34]. Но особенно ярко эти задачи проявляются в компьютерных играх. На представленных на  
рис. 1 и 2 скриншотах показано нелепое вмуровывание «людей» в металлические и бетонные конструкции. Данная несуразность получилась из-за 
отсутствия в игре математических методов определения расстояний между различными геометрическими фигурами, из-за пренебрежения к слову «дистанция». Игра называется «Киберпанк», однако такие 
странные ситуации поголовно имеются и в других 
3D-шутерах.
Задачи по определению расстояния между геометрическими фигурами могут быть решены на строгой 
научной основе интерактивным методом только при 
условии широкого применения современной математики и компьютерной техники.
1. Общие положения
В учебной литературе расстояния между геометрическими объектами рассматриваются самые примитивные: расстояние между двумя точками, расстояние между точкой и плоскостью, расстояние от 
точки до сферы, расстояние между двумя сферами, 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2024
При ограниченном количестве неизвестных задача становится проще. Так, в трехмерном пространстве требуется найти вектор X
x x
x
= (
)
1
2
3
,
,
,  удовлетворяющий системе ограничений
	
g
x x
x
b i
m
i
i
1
2
3
1 2
,
,
, ,
,
, ,...,
(
) ≤= ≥
{
}
=
	
(3)
и представляющий экстремум функции
	
Z
f x x
x
= (
)
1
2
3
,
,
.	
(4)
С точки зрения геометрии мы должны определить 
минимальное и максимальное расстояния между 
поверхностью (4) и областью, ограниченной системой 
поверхностей (3), что в компьютерных играх, например, представляют металлические и железобетонные 
конструкции, вернее, совокупность их поверхностей.
При определении величин расстояний имеет значение возможность использования вычислительной 
техники с визуальной корректировкой решения по 
изображению на дисплее.
Для линий и поверхностей минимальным и максимальным расстоянием являются длины отрезков, 
заключенных между ними и представляющих общие 
нормали к обеим линиям, поверхностям. Исключением 
является задание отсека поверхности, ограниченного пересекающимися линиями. Тогда искомым расстоянием может оказаться не величина отрезка нормали к поверхности отсека, а величина нормали к 
одной из ограничительных линий — линий обреза 
поверхности, в частном случае расстояние до одной 
из точек пересечения линий обреза — вершины криволинейного пространственного многоугольника.
Пусть даны две выпуклые поверхности Ф1 и Ф2 
(рис. 3) и прямая, пересекающая эти поверхности в 
точках А1, А2, В1 и В2. Тогда минимальное расстояние 
между поверхностями соответствует величине отрезка, заключенного между неразделенными точками 
А2 и В2, а максимальное — между точками А1 и В1. 
Кроме того в данном примере будут иметь место еще 
два экстремальных значения расстояния между поверхностями — величины отрезков, ограниченных 
разделенными точками А1 и В2, А2 и В1. В дальнейшем 
будут рассматриваться только первые два случая.
 
Рис. 3
в лучшем случае между двумя прямыми [1; 3; 4; 8; 
10; 13–21; 23; 25; 28; 29; 33–36]. Но вот расстояние 
между точкой и хотя бы эллипсоидом вращения уже 
приобретает достаточно трудоемкое исполнение 
[30–32].
Общая задача определения расстояния между 
объектом и замкнутой областью формулируется следующим образом.
Найти вектор X
x x
xn
= (
)
1
2
,
,
,
,
…
 удовлетворяющий 
системе ограничений
	
g
x x
x
b i
m
i
n
i
1
2
1 2
,
,
,
, ,
,
, ,...,
…
(
) ≤= ≥
{
}
=
	
(1)
и представляющий экстремум функции
	
Z
f x x
xn
= (
)
1
2
,
,
,
.
…
	
(2)
Если (1) и (2) представляют собой нелинейные 
зависимости, задача относится к определению расстояний в многомерном пространстве.
GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 4. 3–14
Рис. 1
 
Рис. 2

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2024
2. Геометрическая модель с аналитическим 
решением
Аналитическое решение задачи предусматривает 
применение алгебраических уравнений с условием 
последующего применения в компьютерных технологиях, как сейчас говорят — в информационных 
технологиях [6; 24; 26; 27]. Нередко с применением 
дифференциального исчисления [7], как это используется в данной статье.
Рассмотрим различные варианты определения 
расстояний.
2.1. Расстояние между двумя линиями
Основная схема операций при определении максимального или минимального расстояния между 
двумя прямыми (рис. 4, а), или между прямой и 
кривой линиями, или между двумя кривыми линиями (рис. 4, б) остается неизменной.
 
Рис. 4
Пусть каждая из двух данных линий определена 
как линия пересечения двух цилиндрических поверхностей, заданных уравнениями вида:
	
f
x y
f
x z
1
2
0
0
,
;
,
(
) =
(
) =



	
(5)
или как линия пересечения двух любых поверхностей
	
f
x y z
f
x y z
1
2
0
0
, ,
;
, ,
.
(
) =
(
) =



	
(6)
Найдем уравнения двух вспомогательных плоскостей, имеющих вид:
	
df
dy
df
dz
df
dy
df
dy
x
x
df
dz
df
dx
df
dz
df
dx
y
y
df
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
−
(
)+
−
(
)+
+ dx
df
dy
df
dx
df
dy
z
z
1
2
2
1
0
−
(
) = .
	
(7)
Каждая из этих плоскостей является нормальной 
к одной из данных линий и проходит через точку, 
принадлежащую как другой линии, так и плоскости, 
нормальной к этой другой линии. Линия пересечения 
двух вспомогательных плоскостей является общей 
нормалью к данным линиям.
При решении системы шести полученных уравнений находятся координаты х, у и z обеих точек 
отрезка, величина которого соответствует расстоянию 
между данными линиями и определяется следующим 
образом:
	
R
x
x
y
y
z
z
=
−
(
) +
−
(
) +
−
(
)
2
1
2
2
1
2
2
1
2 . 	
(8)
2.2. Расстояние между линией и поверхностью
Пусть линия задана двумя уравнениями (5),  
а поверхность — уравнением (9):
	
f x y z
, ,
.
(
) = 0 	
(9)
Находятся уравнение (7) плоскости, нормальной 
к заданной линии в некоторой ее точке, и два уравнения нормали к поверхности
	
x
x
df
dx
y
y
df
dy
z
z
df
dz
−
=
−
=
−
1
1
1 	
(10)
GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 4. 3–14

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2024
при условии, что эта нормаль принадлежит плоскости (7).
Как и в предыдущем случае при решении системы 
шести уравнений находятся координаты конечных 
точек отрезка общей нормали с последующим определением его величины.
2.3. Расстояние между поверхностями
Пусть каждая из двух данных поверхностей характеризуется своим уравнением вида (9).
При решении задачи находятся два уравнения 
вида (10) нормали к первой поверхности и два уравнения нормали ко второй поверхности при условии, 
что одна и та же прямая — общая нормаль к обеим 
данным поверхностям.
В дальнейшем, как и в предыдущих случаях, решается система шести уравнений, находятся координаты концов отрезка общей нормали, определяется величина этого отрезка.
2.4. Эквидистантные поверхности в качестве посредников
Эквидистантной поверхностью является поверхность, все множество точек которой равноудалено 
от данной линии, поверхности.
Пусть требуется определить минимальное расстояние между поверхностями Ф1 и Ф2 (рис. 5).
 
Рис. 5
Если построить множество поверхностей 
Φ
Φ
Φ
1
1
1
2
1
3
,
,
,
,
… эквидистантных Ф1, то одна из них — 
ФЭ — коснется поверхности Ф2 в искомой точке В. 
Уравнение 
	
f x
y
z
э
э
э
,
,
(
) = 0 	
(11)
поверхности ФЭ, эквидистантной Ф1, находится при 
решении системы четырех уравнений, куда входят 
уравнение данной поверхности Ф1 (9), два уравнения 
(10) нормали к поверхности Ф1, уравнение (8), характеризующее расстояние между поверхностями Ф1 
и ФЭ, в результате исключения координат х, у, z, 
относящихся к точкам поверхности Ф1.
Так как точка касания B x
x
y
y
z
z
э
э
э
≡
≡
≡
(
)
2
2
2
,
,
 
поверхностей ФЭ и Ф2 принадлежит общей нормали 
к обеим поверхностям, то искомое минимальное 
расстояние определится, если систему четырех уравнений дополнить еще тремя — уравнением поверхности Ф2 и двумя уравнениями нормали к этой поверхности.
Последовательность решения систем уравнений 
в конечном итоге позволяет задавать алгоритм решения с последующей разработкой программ для 
постановки задач по определению минимального 
или максимального расстояний между данными геометрическими фигурами на компьютере. Отметим, 
что составление таких программ, как правило, является процессом чрезвычайно трудоемким, что в большой мере зависит от степени исходных уравнений.
Аналитическое решение поиска минимального и 
максимального расстояний между двумя кривыми 
линиями рассмотрим на следующем примере.
Даны окружность
	
x
y
R
2
2
1
2
+
=
	
(12)
и парабола
	
x
x
p y
y
−
(
) =
−
(
)
0
2
0
2
,	
(13)
где x – x0 — координаты вершины параболы.
Парабола симметрична относительно оси, параллельной Оу.
Расстояние, как минимальное, так и максимальное, измеряется по направлению нормали, общей 
для обеих кривых 2-го порядка. В общем виде уравнение нормали к плоской кривой линии записывается следующим образом:
	
y
y
dx
dy
x
x
−
(
) = −
−
(
)
1
1
1
1 .	
(14)
Находятся уравнения нормалей к данным кривым.
Если функция задана уравнением (12), то 
	
dx
dy
y
x
= −
.  	
(15)
Если функция задана уравнением (13), то
GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 4. 3–14

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2024
	
dx
dy
P
x
x
=
−
0
.
 	
(16)
Тогда уравнение нормали к окружности будет:
	
y
y
x x
=
1
1
,  	
(17)
а уравнение нормали к параболе:
	
y
y
P
x
x
x
x
−
(
) = −
−
−
(
)
2
2
0
2 . 	
(18)
Так как нормаль является общей к данным линиям, то можно поставить знак равенства между коэффициентами в уравнениях (17) и (18).
	
y
x
P
x
x
1
1
2
0
=
−
.  	
19)
Выбранная для дальнейшей работы система состоит из четырех уравнений (12; 13; 17; 19). При этом 
в уравнении (12) заменяются х и у на х1 и у1, а в уравнениях (13) и (17) заменяются х и у на х2 и у2. Тогда 
при решении этой системы уравнений получаем:
	
1
2
0
3
2
0
0
0
P x
x
x
P
y
x y
−
(
) +
+
(
) =
; 	
(20)
	
x
R
x
x
P
x
x
1
2
1
2
2
0
2
2
2
0
2
=
−
(
)
+
−
(
)
;
	
(21)
	
y
Px
x
x
2
2
0
2
=
−
;
	
(22)
	
y
y x
x
1
2 1
2
=
,
	
(23)
что дополняется уравнением (8)
	
 R
x
x
y
y
z
z
=
−
(
) +
−
(
) +
−
(
)
2
1
2
2
1
2
2
1
2,
где R — расстояние между двумя данными линиями 
по направлению общей к этим линиям нормали.
3. Компьютерный поиск № 1
3.1. Линейный поиск
Линейный поиск осуществляется в том случае, 
если одной из заданных геометрических фигур является линия. Тогда на этой линии выбирается ряд 
дискретных точек, определяется расстояние от каждой 
из них до второй выбранной геометрической фигуры 
с последующим сравнением расстояний на предмет 
выявления минимального или максимального значения.
3.1.1. Расстояние между линиями
Для определения расстояния между двумя линиями на одной из них выбирается ряд точек с заданным 
интервалом (0, 1, 2, …). Визуально, по изображению 
на дисплее, если задача решается интерактивным 
образом, принимается за начальную некоторая точка С (рис. 4), на первый взгляд «ближайшая» к другой 
линии, и определяются ее координаты. Через С проводится плоскость (7), нормальная ко второй линии 
и пересекающая последнюю в точке, координаты 
которой определяются в результате решения системы 
трех уравнений (5 или 6, 7). Заканчивается цикл 
определением по уравнению (8) величины R расстояния от точки С до второй линии.
Дальнейший поиск ведется в направлении уменьшения расстояния R. Пусть по направлению 0, 1, 2, … 
и до точки 5 это расстояние уменьшалось, а в точке 
6 начало увеличиваться. Тогда расстояние от точки 
5 до второй линии соответствует минимальному расстоянию между двумя данными линиями при конкретном интервале.
Для более точного построения на отрезке 456 
первой линии выбирается ряд точек с меньшим интервалом, и решение повторяется до достижения 
требуемой точности.
Такое решение можно рассматривать и как выбор 
сферы наименьшего радиуса из множества сфер, 
центры которых принадлежат одной из данных линий, 
а сами сферы касательны к другой линии. В результате получаем этакую циклическую поверхность. 
Выбираем самую маленькую из всего множества сфер. 
Блок-схема решения задачи приведена на рис. 6.
3.1.2. Расстояние между линией и поверхностью
Для определения минимального или максимального расстояния между линией и поверхностью на 
линии выбирается ряд точек с заданным интервалом. 
Визуально, по изображению на дисплее, одна из них, 
«ближайшая» к поверхности, принимается за начальную, находятся ее координаты (5). Через начальную 
точку линии проводится нормаль (10) к поверхности 
(9) до пересечения с последней в точке, координаты 
которой определяются в результате решения трех 
уравнений (9, 10). Заканчивается цикл определением по уравнению (8) расстояния от точки, принадлежащей линии, до данной поверхности.
Поиск ведется вдоль линии в направлении уменьшения или увеличения величины R до наименьшей 
GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 4. 3–14

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2024
или наибольшей. При необходимости в дальнейшем 
точность решения повышается за счет уменьшения 
интервала на ограниченном отрезке линии.
Приведенное решение можно рассматривать и 
как выбор сферы минимального или максимального радиуса из того множества сфер, центры которых принадлежат линии, а сами сферы касаются 
поверхности. То есть выбирается самая маленькая 
окружность из ∞1 окружностей циклической поверхности.
3.2. Линейно-последовательный поиск
Способ используется при определении расстояния 
между поверхностями. Заключается в том, что на 
одной из поверхностей наносится сетка линий двух 
направлений с заданным интервалом, пересекающиеся в узловых точках, после чего определяются расстояния от точек первой линии одного из направлений до второй поверхности и при их сравнении выбирается наименьшее или наибольшее. Затем последовательно повторяется этот цикл с точками второй, 
третьей и т.д. линии того же направления до тех пор, 
пока не определится минимальное или максимальное 
расстояние между поверхностями.
 
Рис. 7
Пусть необходимо определить минимальное расстояние между поверхностями Ф1 и Ф2 (рис. 7). При 
решении в первую очередь на поверхности Ф1 наносится с выбранным интервалом сеть линий уровня — 
горизонталей и фронталей. По изображению на дисплее задается «ближайшая» к поверхности Ф2 узловая 
точка А1 и определяется расстояние от нее до поверхности Ф2, для чего через точку А1 проводится нормаль 
(10) к поверхности Ф2 (9) до пересечения с последней. 
Находятся координаты этой точки пересечения в 
результате решения системы трех уравнений (9, 10), 
после чего по уравнению (8) определяется величина 
R1 — расстояние от А1 до поверхности Ф2. Аналогично 
определяется R0 для ближайшей к А1 точки А0, расположенной на той же горизонтали. Если R0 > R1, то 
определяется R2 для точки А2, расположенной с другой стороны от А1. При дальнейшем решении получаем R0 > R1 > R2 > R3 < R4, откуда на данной горизонтали ближайшей к поверхности Ф2 является точка А3. Цикл закончен.
GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 4. 3–14
Рис. 6

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2024
При определении наименьших расстояний от 
точек, принадлежащих ближайшим горизонталям, 
до поверхности Ф2 и сравнении их величин выясняется направление дальнейшего решения задачи, продолжающегося до определения минимального расстояния между поверхностями.
Величина ошибки, допущенной при определении 
R6 (см. рис. 8) по сравнению с истинным расстоянием зависит от величины выбранного интервала.  
С целью повышения точности определения минимального расстояния выбирается отсек поверхности 
Ф1 с центральной точкой А6 (рис. 8), ограниченный 
горизонталями и фронталями, расположенными от 
А6 на расстоянии старого интервала. Этот отсек разбивается сеткой линий с меньшим интервалом и 
продолжается поиск минимального R.
Затем выделяется следующий отсек и т.д. до получения необходимой точности решения задачи.
 
Рис. 8
Предложенное решение можно рассматривать и 
как выбор сферы минимального радиуса из того 
множества сфер, центры которых принадлежат поверхности Ф1, а сами сферы касаются поверхности 
Ф2.
По сравнению с аналитическим решением компьютерный поиск № 1, куда входят линейный и 
линейно-последовательный поиски, имеет значительное преимущество, так как при аналитическом 
решении задачи в пространстве в конечном итоге 
необходимо решать систему семи уравнений, а при 
предлагаемом компьютерном поиске № 1 — систему 
только из четырех уравнений, что значительно облегчает работу программистов.
4. Компьютерный поиск № 2
При определении расстояния между двумя поверхностями с использованием компьютерного поиска № 2 на обеих поверхностях предварительно 
наносится сетка линий двух направлений, например, 
горизонталей и фронталей, при пересечении которых 
будем иметь два множества узловых точек. Последовательно выбирая узловые точки первой поверхности и определяя расстояния от них до точек 
второй поверхности, или наоборот, выбирая точки 
на второй поверхности и определяя расстояния от 
них до точек первой поверхности с последующим 
сравнением полученных величин, происходит выбор 
таких двух точек, которые, принадлежа разным поверхностям, являются максимально приближенными 
друг к другу или максимально удаленные друг от 
друга.
4.1. Маятниковый поиск
При маятниковом поиске на одной из горизонталей первой поверхности находится узловая точка, 
наиболее близкая (наиболее удалённая) к некоторой 
точке, принадлежащей горизонтали второй поверхности. Затем на этой зафиксированной горизонтали 
второй поверхности находится узловая точка, ближайшая (наиболее удаленная) к некоторой точке 
другой горизонтали первой поверхности. Таким образом, перемещаясь то от первой поверхности ко 
второй, то от второй поверхности к первой и сравнивая между собой величины полученных расстояний, 
в конечном итоге определяется минимальное или 
максимальное расстояние между двумя данными 
поверхностями.
Пусть даны поверхности Ф1 и Ф2. Для определения 
минимального расстояния между ними предварительно на каждой из поверхностей наносится с заданным интервалом сеть горизонталей и фронталей 
с узловыми точками в местах пересечения этих линий 
(рис. 9). Визуально, по изображению на дисплее, 
выбирается на поверхности Ф1 горизонталь m1, точки которой расположены «наиболее близко» от поверхности Ф2, и на ней «ближайшая» точка А10.
Определение расстояния от узловой точки А10 
поверхности Ф1 до ближайшей к ней узловой точки 
поверхности Ф2 выполняется при последовательном 
определении расстояний от А10 до узловых точек 
горизонтали k1, k2 и т.д. поверхности Ф2 до тех пор, 
пока не будет найдена такая точка Вi, расстояние до 
которой от точки А10 будет наименьшим. Аналогично 
GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 4. 3–14

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2024
находятся наименьшие расстояния от точек А11, А12 … 
до поверхности Ф2. Их величины сравниваются. Пусть 
минимальным расстоянием от горизонтали m1 до 
поверхности Ф2 будет величина отрезка А11В12. Тогда 
следующим этапом будет нахождение на горизонтали k1 поверхности Ф2 узловой точки, ближе всех 
расположенной к одной из точек горизонтали m2 
поверхности Ф1 и т.д. В результате получаем ломаную 
линию поиска. При этом величины отрезков этой 
ломаной линии постоянно сравниваются.
Пусть при сравнении мы имеем
	
A B
B A
A B
11
12
12
22
22
23
>
<
.
Тогда
	
Rmin = B12A22.
Если точность решения при заданном интервале 
нас не устраивает, то на поверхности Ф1 задается 
отсек А12А11А21А33 с центральной точкой А22 (рис. 10), 
а на поверхности Ф2 — отсек В01В03В23В21 с центральной точкой В12. В пределах этих отсеков наносятся 
сетки горизонталей и фронталей с меньшим интервалом и продолжается решение задачи до достижения 
требуемой точности.
4.2. Односторонний поиск
При одностороннем поиске также проводится на 
обеих поверхностях сети линий двух направлений, 
например, горизонталей и фронталей. Затем на одной 
из горизонталей первой поверхности находится точка, ближайшая к некоторой точке второй поверхности. На следующей горизонтали первой поверхности 
находится еще одна точка, ближайшая ко второй 
поверхности.
При сравнении величин полученных расстояний 
между точками поверхностей дальнейшее решение 
задачи продолжается аналогично до получения конечного результата или в сторону их уменьшения, 
или в сторону их увеличения в зависимости от того, 
требуется ли определить минимальное или максимальное расстояние между данными поверхностями.
При компьютерном поиске № 2 уравнения (9) 
поверхностей Ф1 и Ф2 используются только для определения координат точек Аi и Вi при заданных интервалах горизонталей и фронталей. В дальнейшем 
производится выбор очередной точки, определение 
величины отрезка (8) и сравнение величин. По сравнению с рассмотренными ранее случаями компьютерный поиск является наиболее элементарным и 
упрощает до минимума составление программы. 
Поиском № 2 можно пользоваться и в тех случаях, 
когда вместо одной из поверхностей или вместо 
обеих задаются линии.
5. Ограничения
Пусть поверхность Ф2 задана не полностью, а ее 
отсеком АВС (рис. 11) с линиями ограничениями f, 
l и k. При определении наименьшего или наибольшего расстояния между поверхностями Ф1 и Ф2 моGEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 4. 3–14
Рис. 9
Рис. 10