Сборник задач по алгебре. 7-9 классы

СБОРНИК ЗАДАЧ  
ПО АЛГЕБРЕ

А. Н. РУРУКИН, Н. Н. ГУСЕВА,  
Е. А. ШУВАЕВА

7–9 классы

МОСКВА 
 2024

3-е  и з д а н и е,  э л е к т р о н н о е

Р е ц е н з е н т  – учитель математики высшей квалификационной  
категории ГБОУ школа 1501 СП № 1388 Г.В. Миронова.

©  ООО «ВАКО», 2020; 
2024, с изменениями

Издание допущено к использованию в образовательном процессе 
на основании приказа Министерства образования и науки РФ  
от 09.06.2016 № 699.

ISBN 978-5-408-06725-1

Рурукин А.Н.
Сборник задач по алгебре. 7–9 классы / А.Н. Руру-
кин, Н.Н. Гусева, Е.А. Шуваева. – 3-е изд., эл. – 1 файл 
pdf : 91 с. – Москва : ВАКО, 2024. – Систем. требования: 
Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; 
экран 10,5″. – Текст : электронный.

ISBN 978-5-408-06725-1

Пособие содержит задачи по всем разделам алгебры, изучаемым 
в 7–9 классах. Задачи разделены на три уровня сложности. 
В первом уровне представлены элементарные задачи, во втором – 
базовые, в третьем – задачи повышенной сложности, олимпиадные 
и конкурсные. Это позволяет использовать сборник и для 
занятий на уроках, и для подготовки учеников к предметным 
олимпиадам и ГИА. Ко всем задачам приведены ответы, к наиболее 
сложным даны методические указания.
Предназначено для учителей и учеников общеобразовательных 
и профильных школ.

Р87

УДК 373.5
ББК 22.14
 
Р87

Электронное издание на основе печатного издания: Сборник 
задач по алгебре. 7–9 классы / А.Н. Рурукин, Н.Н. Гусева, 
Е.А. Шуваева. – 2-е изд., испр. – Москва : ВАКО, 2024. – 320 с. – 
ISBN 978-5-408-06633-9. – Текст : непосредственный.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, 
установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель 
вправе требовать от нарушителя возмещения убытков 
или выплаты компенсации.

УДК 373.5
ББК 22.14

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемое пособие составлено в соответствии 
с требованиями Федерального государственного образовательного 
стандарта основного общего образования 
2021 г. и программы основного общего образования по 
алгебре. В сборник включены задачи по всем разделам 
алгебры, изучаемым в 7–9 классах средней школы. 
Задачи сгруппированы в соответствии с расположением 
тем в учебниках под редакцией Ю.Н. Макарыче-
ва, входящих в действующий федеральный перечень 
учебников.
Все задачи данного сборника распределены по темам: «
Выражения, тождества, уравнения», «Функции», 
«Степень с натуральным показателем», «Многочлены», 
«Формулы сокращенного умножения», «Системы линейных 
уравнений», «Рациональные дроби», «Квадратные 
корни», «Квадратные уравнения», «Неравенства», 
«Степень с целым показателем. Элементы статистики», 
«Квадратичная функция», «Уравнения и неравенства 
с одной переменной», «Уравнения и неравенства с двумя 
переменными», «Арифметическая и геометрическая 
прогрессии», «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

Всего в сборнике около 1500 задач. Они дифференцированы 
по трем уровням сложности (А, В и С). В первом 
уровне (А) представлены простые задачи, предназначенные 
для отработки элементарных навыков 
решения задач. Во втором (B) – базовые, соответствующие 
обязательному уровню программы образования. 
К третьему уровню (С) отнесены задачи повышенной 
сложности, олимпиадные и конкурсные.

Предисловие

В основном в сборнике представлены парные задачи, 
позволяющие отрабатывать пройденный материал 
в школе и закреплять его в процессе самостоятельной 
работы дома. Решение задач служит средством не только 
улучшения качества знаний учащихся, но и приемом 
углубления, закрепления, проверки знаний и навыков, 
развивает логическое мышление, умение применять 
знания.
Ко всем задачам приведены ответы, а к наиболее 
сложным даны и методические указания.
Задачник предназначен для учеников и учителей 
общеобразовательных и профильных школ. Наличие 
в пособии задач разного уровня сложности позволяет 
использовать его для классной и домашней работы, 
проведения самостоятельных, контрольных и зачетных 
работ, а также при подготовке учеников к олимпиадам 
и ГИА. Сборник задач апробирован в общеобразовательных 
классах и классах с углубленным изучением математики.

КЛАСС

ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, 
УРАВНЕНИЯ

Выражения

У р о в е н ь  А

1. Выполните действия с целыми числами:
а) 4891 + 4675 + 109 + 325;
б) 3725 + 3820 + 275 + 180;
в) 5235 - 376 - 235 + 6376;
г) 7137 - 472 - 137 + 5472;
д) 564 ∙ 645 - 563 ∙ 645 + 4355;
е) 789 ∙ 389 - 788 ∙ 389 + 3611.

2. Найдите значение выражения:
а) 3,6 : 0,08 + 5,2 ∙ 2,5;
б) 8,75 : 0,125 - 3,5 : 0,5;
в) (9,885 - 0,365) : 1,7 + 4,4;
г) (3,637 + 10,563) ∙ 2,5 + 4,5;

д) 31
3
61
6;
+
 
ж) 21
5
71
3;
−
 
и) 31
2 13
7;
−
⋅

е) 101
4
51
2;
−
 
з) 51
6
72
3;
−
 
к) 61
2 :
21
6 .
(
)
−

3. Вычислите:
а) 3% от числа 320; 
в) 15% от числа 230;
б) 6% от числа 400; 
г) 8% от числа 240.

4. Найдите число, если:
а) 4% от него равно 240; 
в) 20% от него равно 15;
б) 8% от него равно 32; 
г) 7% от него равно 210.

5. Запишите в виде числового выражения и найдите его 
значение:
а) сумму числа 32
3 и произведения чисел 2,4 и 15;

Выражения

б) разность между произведением чисел 21
7 и 24
5  
и числом 2,4;
в) произведение суммы чисел 24 и 5,6 и их разности;

г) частное от деления разности чисел 4 8
15 и 11
3 
на меньшее из них.

6. Опишите алгебраическим выражением:
а) число секунд в a минутах;
б) число минут в x сутках;
в) длину в метрах, если она равна b километрам;
г) длину в километрах, если она равна y метрам;
д) скорость в метрах в минуту, если она равна c км/ч;
е) скорость в километрах в час, если она равна z м/с.

7. Напишите формулу числа, которое:
а) кратно 3;
б) кратно 19;
в) при делении на 7 дает остаток 4;
г) при делении на 11 дает остаток 9;
д) при делении на n дает остаток r (r < n).

8. Найдите значение выражения:
а) 3x - 8 при x = -3; 0; 2;
б) 2y + 5 при x = -4; 0; 3;
в) 4x - 3y при x = 1 и y = -2;
г) 3a + 7b при a = -3 и b = 1;

д) a
b
a
b
3

2

−
+
 при a = -1 и b = -2;

е) a
b
a
b
2

2

2

−
+
 при a = -2 и b = 4.

9. При некоторых значениях переменных x и y значение 
выражения x - y равно -3. При тех же переменных найдите 
значение выражения:
а) 7(x - y); 
б) 4(y - x); 
в) x
y
2
;
−
 
г) y
x
x
y
5
.
−
−

10. При каких значениях переменных выражение 
не имеет смысла?

а) x
3
+ 5;
 
б) x
2
2
− 3;

7 класс. Выражения, тождества, уравнения

в) x
x
3
1
2
7;
+
+
 
ж) 
xy
x
y
2
1

2
1
2 ;
(
)
(
)
+
−
+

г) x
x
2
1
3
5 ;
2 −
−
 
з) 
x
y
x
y
2
3

3 2
1 ;
(
)
(
)
+
+
+
+

д) 
x
x
x
4
1
1 2
3 ;
(
)(
)
+
+
+
 
и) 
xy
x
x
y
x
y

3
2
2
3
;

2

(
)(
)
+
+
+
−

е) 
x
x
x
4

2
1 3
7 ;
2
(
)(
)
−
−
+
 
к) 
y
x
y

x
y x
y
2

2
5
3
.

2

(
)(
)
+
+
−
−
+

11. Сравните значения выражений:
а) A = 3,2 ∙ 2,3 и B = 30,5 : 4,4;
б) A = 100,8 : 5,6 и B = 54,8 - 36,7;

в) A
1
2
1
5
=
+
 и B
1
3
1
4;
=
+

г) A
16
35
8
=
−
 и B
15
21
4.
=
−

12. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

а) A
78 3
7
=
⋅
 и B
78 : 7
3;
=

б) A
811
3 : 2
7
=
 и B
811
3
2
7;
=
⋅

в) A
533
5 : 32
3
=
 и B
533
5 32
3;
=
⋅

г) A
643
7
281
3
=
−
 и B
622
5
281
3;
=
−

д) A
563
4
731
2
=
−
 и B
563
4
712
3.
=
−

13. Сравните значения выражений:
а) A = 3x + 5 и B = 7x - 3 при x = -1; 2; 4;
б) A = 5x - 1 и B = 8x + 2 при x = -4; -1; 2.

У р о в е н ь  B

14. Выполните действия с целыми числами:
а) 564 ∙ 645 - 563 ∙ 645 + 355;
б) 598 ∙ 985 - 597 ∙ 985 + 1015;
в) 584 + 5832 - 5842 + 583;
г) 675 + 6742 - 6752 + 674.

Выражения

15. Найдите последнюю цифру числа:
а) 15 837 + 138 ∙ 251 + 372 ∙ 683 + 73 269;
б) 37 843 + 139 ∙ 267 - 348 ∙ 261 + 84 125;
в) 261 ∙ 262 ∙ 263 ∙ 264 ∙ 265 ∙ 266 ∙ 267;
г) 382 ∙ 383 ∙ 384 ∙ 385 ∙ 386 ∙ 387 ∙ 388.

16. Не вычисляя произведение, проверьте, равны ли 
числа:
а) 827 ∙ 278 ∙ 782 и 179 786 491;
б) 743 ∙ 437 ∙ 374 и 121 434 433.

17. Установите закономерность между целыми числами 
и напишите три следующих числа:
а) 3; 7; 11; 15; … ; 
е) 3; 6; 12; 24; … ;
б) 2; 5; 8; 11; … ; 
ж) 5; -10; 20; -40; … ;
в) 4; -1; -6; -11; … ; 
з) -7; 21; -63; 189; … ;
г) 3; -1; -5; -9; … ; 
и) 1; 2; 3; 5; 8; 13; … ;
д) 2; 6; 18; 54; … ; 
к) -2; 3; 1; 4; 5; 9; … .

18. Найдите значение числового выражения:
а) (0,018 + 0,982) : (8 ∙ 0,5 - 0,8);
б) (0,008 + 0,992) : (5 ∙ 0,6 - 1,4);

в) 6
71
8
2
9
2
3 ;
(
) (
)
−
⋅
+
 
д) 

1,05
3
4

7,5
31

3
0,6

;
(
)

+

−
⋅

г) 15
41
8
314
15
23
5 ;
(
) (
)
−
⋅
−
  
е) 

7,5
62

3
0,12

4,5
3
5

.
(
)
+
⋅

+

19. Стоимость товара была повышена на 20%, а затем 
снижена на 10%. На сколько процентов изменилась 
стоимость товара?

20. Зарплата была снижена на 10%, потом снижена еще 
на 20%. На сколько процентов изменилась зарплата?

21. Используя цифру 4 по 4 раза, знаки действий и скобки, 
представьте все числа от 0 до 10.

22. Используя цифру 7 по 4 раза, знаки действий и скобки, 
запишите все числа от 0 до 10.

7 класс. Выражения, тождества, уравнения

23. С помощью алгебраического равенства запишите 
утверждение:
а) от перестановки мест слагаемых сумма не меняется;
б) от перестановки мест множителей произведение 
не меняется;
в) величина дроби не меняется, если ее числитель 
и знаменатель умножить на одно и то же число, не равное 
нулю;
г) чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое 
умножить на число, обратное делителю.

24. Используя алгебраическое равенство, опишите данную 
ситуацию.
а) Известно, что 1 кг винограда стоит x руб., 1 кг черешни 
стоит y руб. А 5 кг винограда стоят столько же, 
сколько 3 кг черешни.
б) Стоимость стакана виноградного сока a руб., стакана 
апельсинового сока – b руб. Известно, что 4 стакана 
виноградного сока стоят столько же, сколько 7 стаканов 
апельсинового сока.
в) Скорость мотоциклиста x км/ч, а скорость автомобилиста 
на 20 км/ч больше. Расстояние между городами 
мотоциклист проехал за 5 ч, а автомобилист – за 3 ч.
г) Скорость катера y км/ч, а скорость моторной лодки 
на 4 км/ч меньше. Расстояние между пристанями катер 
прошел за 2 ч, а лодка – за 3 ч.
д) На трех полках стоит 305 книг. На первой полке 
книг в 1,5 раза больше, чем на второй. На второй полке 
x книг. На третьей полке стоит на 10 книг меньше, чем 
на второй. 
е) В трех цехах работают 470 человек. В первом цехе 
x рабочих, что на 30% больше, чем во втором. В третьем 
цехе на 70 рабочих меньше, чем в первом.

25. Найдите значение числового выражения:
а) -97 - 96 - … - 2 - 1 + 1 + 2 + … + 97 + 98;
б) -100 - 99 - 98 - … - 1 + 1 + 2 + … + 101 + 102;
в) 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + … + 301 + 302;
г) 1 - 2 + 3 - 4 + … + 295 - 296.

26. Значение выражения ax + by при x = 4, y = 6 равно 

72. Найдите значение этого выражения при x
1
= 6,
 y
1
= 4.