Структура и интерпретация классической механики

Джеральд Джей Сассман и Джек Уиздом

Структура и интерпретация 
классической механики

Gerald Jay Sussman and Jack Wisdom

Structure 
and Interpretation 
of Classical Mechanics

second edition

The MIT Press
Cambridge, Massachusetts
London, England

Джеральд Джей Сассман и Джек Уиздом

Структура 
и интерпретация 
классической механики

Москва, 2023

УДК 530.1
ББК 22.31T
С20

Сассман Дж. Дж., Уиздом Дж.
С20  Структура и интерпретация классической механики / пер. с англ. А. А. Слин-
кина. – М.: ДМК Пресс, 2023. – 488 с.: ил. 

ISBN 978-5-97060-954-5

В настоящее время нам известно, что содержание классической механики 
гораздо богаче, чем представлялось раньше. Вывод уравнений движения – центральная тема традиционных изложений механики – всего лишь начало. В этой 
новаторской книге акцент сделан на разработке общих методов изучения поведения 
классических систем вне зависимости от того, имеют они аналитическое 
решение или нет. В фокусе внимания авторов сам феномен движения, а для его 
исследования применяется компьютерное моделирование. Недавние открытия 
в области нелинейной динамики органично вплетены в текст, а не добавлены 
по завершении работы. Изучение таких явлений, как переход к хаотическому 
движению и нелинейные резонансы, помогает читателю освоить аналитический 
инструментарий, необходимый для их понимания. 
Издание адресовано студентам технических вузов, а также будет полезно всем, 
кто интересуется классической и современной физикой.

УДК 530.1
ББК 22.31T

Права на русскоязычное издание получены через Агентство Александра Корженевского 
(Москва).

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой 
бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения 
владельцев авторских прав.

ISBN 978­0­262­02896­7 (англ.)  
©  2014 Massachusetts Institute 
of Technology
ISBN 978­5­97060­954­5 (рус.)  
©  Перевод, оформление, издание,  
ДМК Пресс, 2023

Автор приложил особые старания к тому, чтобы с как можно 
большей простотой и отчетливостью изложить руководящие 
идеи теории, придерживаясь в целом той их последовательности 
и связи, в какой они возникли в действительности. В интересах 
ясности я не останавливался перед частыми повторениями, нисколько 
не считаясь с изяществом изложения. Я добросовестно 
следовал предписанию гениального теоретика Л. Больцмана, 
рекомендовавшего заботу об изяществе представить портным 
и башмачникам.

А. Эйнштейн,  
«О специальной и общей теории относительности»  
(перев. с 12­го изд. под ред. проф. С. Я. Лифшица)

С благоговейным трепетом и священным восторгом  
мы посвящаем эту книгу

ПРИНЦИПУ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

Содержание

От издательства ....................................................................................................12

Предисловие ..........................................................................................................13

Благодарности ......................................................................................................19

Глава 1. Механика Лагранжа .........................................................................21

1.1. Конфигурационное пространство ....................................................................23
1.2. Обобщенные координаты ..................................................................................25
1.3. Принцип наименьшего действия .....................................................................28
Наблюдение движения .....................................................................................28
Реализуемые траектории .................................................................................28
1.4. Вычисление действий .........................................................................................33
Траектории минимального действия .............................................................37
Расчет траекторий, минимизирующих действие .........................................38
1.5. Уравнения Лагранжа–Эйлера ............................................................................42
Уравнения Лагранжа .........................................................................................42
1.5.1. Вывод уравнений Лагранжа .......................................................................43
Непосредственный вывод ................................................................................43
Вариационный оператор ..................................................................................44
Вывод уравнений Лагранжа с помощью вариационного оператора ........46
Гармонический осциллятор .............................................................................48
Движение по окружности в поле силы тяжести ............................................49
1.5.2. Уравнения Лагранжа на компьютере ........................................................51
Свободная частица ............................................................................................51
Гармонический осциллятор .............................................................................52
1.6. Откуда берутся лагранжианы? ..........................................................................54
Принцип Гамильтона ........................................................................................56
Равноускоренное движение .............................................................................57
Центральное силовое поле ...............................................................................57
1.6.1. Преобразования координат .......................................................................60
Кориолисовы и центробежные силы ..............................................................63
1.6.2. Системы с жесткими связями ....................................................................65
Лагранжианы для систем с жесткими связями .............................................65
Маятник на шарнирном подвесе ....................................................................66
Почему это работает .........................................................................................68
1.6.3. Связи как преобразования координат .....................................................74
1.6.4. Является ли лагранжиан системы единственным? ................................77
Полная производная по времени ....................................................................78
Прибавление полных производных по времени к лагранжианам ............79
Свойства полной производной по времени ..................................................81

Содержание  7

1.7. Эволюция динамического состояния ...............................................................82
Численное интегрирование .............................................................................86
1.8. Сохраняющиеся величины ................................................................................91
1.8.1. Сохранение импульса .................................................................................91
Примеры сохраняющихся импульсов  ...........................................................92
1.8.2. Сохранение энергии ....................................................................................93
Энергия в терминах кинетической и потенциальной энергий ..................94
1.8.3. Центральные силы в трехмерном пространстве ....................................95
1.8.4. Ограниченная задача трех тел ...................................................................98
1.8.5. Теорема Нётер ............................................................................................100
Иллюстрация: движение в центральном поле ............................................102
1.9. Абстрагирование функций траектории .........................................................104
Мгновенные уравнения Лагранжа ................................................................107
1.10. Движение с ограничивающими связями ....................................................108
1.10.1. Координатные связи ...............................................................................110
Интересное наблюдение ................................................................................111
Альтернативный подход ................................................................................111
Маятник со связями ........................................................................................112
Построение систем из частей ........................................................................114
1.10.2. Связи как производные ..........................................................................116
Обруч Голдстейна ............................................................................................118
1.10.3. Неголономные системы ..........................................................................119
1.11. Резюме ..............................................................................................................122
1.12. Проекты ............................................................................................................123

Глава 2. Твердые тела ......................................................................................126
2.1. Кинетическая энергия вращения ...................................................................127
2.2. Кинематика вращательного движения ..........................................................129
Реализация функций угловой скорости .......................................................131
2.3. Моменты инерции ............................................................................................132
2.4. Тензор инерции .................................................................................................135
2.5. Главные моменты инерции .............................................................................136
2.6. Момент импульса ..............................................................................................139
2.7. Углы Эйлера ........................................................................................................141
2.8. Движение свободного твердого тела ..............................................................144
Сохраняющиеся величины .............................................................................144
2.8.1. Вычисление движения свободных твердых тел ....................................146
2.8.2. Качественные особенности движения свободного твердого тела .....148
2.9. Уравнения Эйлера .............................................................................................152
Уравнения Эйлера для твердых тел, совершающих вынужденное 
движение ..........................................................................................................155
2.10. Осесимметричные волчки .............................................................................157
2.11. Спин­орбитальное взаимодействие ............................................................164
2.11.1. Вывод потенциальной энергии .............................................................164
2.11.2. Вращение Луны и Гипериона .................................................................168
2.11.3. Спин­орбитальный резонанс ................................................................174
2.12. Несингулярные координаты и кватернионы ..............................................178

 Содержание

Композиция вращений ...................................................................................182
2.12.1. Описание движения в терминах кватернионов .................................184
2.13. Резюме ..............................................................................................................187
2.14. Проекты ............................................................................................................187

Глава 3. Гамильтонова механика ...............................................................189
3.1. Уравнения Гамильтона .....................................................................................191
Иллюстрация ....................................................................................................193
Гамильтоново состояние ................................................................................194
Вычисление уравнений Гамильтона .............................................................196
3.1.1. Преобразование Лежандра .......................................................................197
Преобразования Лежандра с пассивными аргументами ..........................200
Преобразования Лежандра квадратичных функций .................................203
Вычисление гамильтонианов ........................................................................203
3.1.2. Вывод уравнений Гамильтона из принципа наименьшего  
действия ................................................................................................................206
3.1.3. Электрическая схема .................................................................................207
3.2. Скобки Пуассона ................................................................................................209
Свойства скобки Пуассона .............................................................................210
Скобка Пуассона сохраняющихся величин .................................................211
3.3. Случай одной степени свободы ......................................................................211
3.4. Уменьшение фазового пространства .............................................................214
Движение в центральном поле .....................................................................215
Осесимметричный волчок .............................................................................217
3.4.1. Упрощение лагранжиана ..........................................................................222
3.5. Эволюция в фазовом пространстве ................................................................224
3.5.1. Описание фазового пространства неоднозначно ................................226
3.6. Поверхности сечения ........................................................................................226
3.6.1. Системы, совершающие периодическое вынужденное движение ....228
3.6.2. Вычисление стробоскопических поверхностей сечения .....................233
3.6.3. Автономные системы ................................................................................234
Исторический фон для работы Энона–Хейлза ...........................................235
Система Энона и Хейлза .................................................................................238
Интерпретация ................................................................................................242
3.6.4. Вычисление поверхностей сечения в системе Энона–Хейлза ............245
3.6.5. Неосесимметричный волчок ...................................................................247
3.7. Экспоненциальное расхождение ....................................................................248
3.8. Теорема Лиувилля .............................................................................................251
Фазовый поток для маятника ........................................................................251
Доказательство теоремы Лиувилля ..............................................................253
Сохранение площади стробоскопических поверхностей сечения ..........255
Теорема Пуанкаре о возвращении ................................................................255
Газ в углу комнаты ...........................................................................................256
Несуществование аттракторов в гамильтоновых системах .....................256
Сохранение фазового объема в диссипативной системе ..........................257
Функции распределения ................................................................................259
3.9. Стандартное отображение ...............................................................................259

Содержание  9

3.10. Резюме ..............................................................................................................262
3.11. Проекты ............................................................................................................263

Глава 4. Структура фазового пространства ..........................................265

4.1. Возникновение разделенного фазового пространства ...............................266
Сечения маятника на шарнирном подвесе, когда амплитуда 
действующей силы нулевая ...........................................................................267
Сечения маятника на шарнирном подвесе для малой действующей  
силы ...................................................................................................................269
4.2. Линейный анализ устойчивости .....................................................................270
4.2.1. Равновесие дифференциальных уравнений .........................................271
4.2.2. Неподвижные точки отображений..........................................................273
4.2.3. Соотношения между показателями ........................................................276
Специализация гамильтониана ....................................................................277
Линейная и нелинейная устойчивость ........................................................280
4.3. Гомоклинное переплетение ............................................................................280
4.3.1. Вычисление устойчивого и неустойчивого многообразий .................285
4.4. Интегрируемые системы .................................................................................288
Типы орбит в интегрируемых системах ......................................................288
Поверхности сечения для интегрируемых систем .....................................290
4.5. Теорема Пуанкаре–Биркгофа ..........................................................................292
4.5.1. Вычисление построения Пуанкаре–Биркгофа ......................................296
4.6. Инвариантные кривые .....................................................................................299
4.6.1. Нахождение инвариантных кривых .......................................................300
4.6.2. Исчезновение инвариантных кривых ....................................................304
4.7. Резюме .................................................................................................................304
4.8. Проекты ..............................................................................................................307

Глава 5. Канонические преобразования ...............................................308

5.1. Точечные преобразования ...............................................................................309
Реализация точечных преобразований .......................................................311
5.2. Общие канонические преобразования ..........................................................314
Полярно­каноническое преобразование .....................................................316
5.2.1. Преобразования, зависящие от времени ...............................................318
Вращающиеся координаты ............................................................................319
5.2.2. Абстрагирование условия каноничности ..............................................321
Примеры ...........................................................................................................322
Условие каноничности и скобки Пуассона ..................................................323
Симплектические матрицы ...........................................................................324
5.3. Инварианты канонических преобразований ...............................................327
Неинвариантность pv ......................................................................................327
Инвариантность скобок Пуассона .................................................................328
Сохранение объема .........................................................................................328
Симплектическая 2­форма ............................................................................329
Интегральный инвариант Пуанкаре ............................................................331
5.4. Производящие функции ..................................................................................333

 Содержание

Полярно­каноническое преобразование .....................................................334
5.4.1. F1 порождает канонические преобразования .......................................335
5.4.2. Производящие функции и интегральные инварианты .......................337
Производящие функции типа F1 ...................................................................337
Производящие функции типа F2 ...................................................................339
Связь между F1 и F2 ..........................................................................................340
5.4.3. Типы производящих функций .................................................................341
5.4.4. Точечные преобразования .......................................................................342
Полярные и прямоугольные координаты ....................................................343
Вращающаяся система координат ................................................................344
Сведение задачи двух тел к задаче одного тела .........................................344
Эпициклическое движение ............................................................................347
5.4.5. Полные производные по времени ..........................................................355
Маятник на шарнирном подвесе ..................................................................357
5.5. Расширенное фазовое пространство .............................................................359
Ограниченная задача трех тел.......................................................................363
5.5.1. Интегральный инвариант Пуанкаре–Картана ......................................365
5.6. Приведенное фазовое пространство ..............................................................366
Орбиты в центральном поле .........................................................................367
Производящие функции в расширенном фазовом пространстве ...........369
5.7. Резюме .................................................................................................................370
5.8. Проекты ..............................................................................................................371

Глава 6. Каноническая эволюция ..............................................................374

6.1. Уравнение Гамильтона–Якоби ........................................................................374
6.1.1. Гармонический осциллятор .....................................................................376
6.1.2. Уравнение Гамильтона–Якоби для задачи Кеплера .............................380
6.1.3. F2 и лагранжиан ..........................................................................................383
6.1.4. Действие порождает эволюцию во времени .........................................385
6.2. Эволюция во времени является канонической ............................................387
Еще раз о теореме Лиувилля ..........................................................................388
Еще одно преобразование, связанное с эволюцией во времени .............389
6.2.1. Другой взгляд на эволюцию во времени ................................................392
Сохранение площади поверхности сечения ...............................................394
6.2.2. И еще один взгляд на эволюцию во времени ........................................395
6.3. Преобразования Ли ...........................................................................................397
Преобразования Ли функций ........................................................................398
Простые преобразования Ли .........................................................................399
Пример ..............................................................................................................401
6.4. Ряды Ли ...............................................................................................................402
Динамика ..........................................................................................................404
Вычисление рядов Ли .....................................................................................406
6.5. Экспоненциальные тождества ........................................................................409
6.6. Резюме ................................................................................................................410
6.7. Проекты...............................................................................................................411

Содержание  11

Глава 7. Каноническая теория возмущений .........................................414
7.1. Теория возмущений, основанная на рядах Ли ..............................................415
7.2. Маятник как возмущенный ротор ..................................................................417
7.2.1. Более высокий порядок .............................................................................424
7.2.2. Исключение секулярных членов ..............................................................426
7.3. Случай многих степеней свободы ...................................................................428
7.3.1. Маятник на шарнирном подвесе как возмущенный ротор .................430
7.4. Нелинейный резонанс ......................................................................................432
7.4.1. Аппроксимация маятника ........................................................................434
Резонансы маятника на шарнирном подвесе .............................................435
7.4.2. Чтение гамильтониана ..............................................................................439
7.4.3. Критерий перекрытия резонансов ..........................................................441
7.4.4. Теория возмущения высшего порядка ...................................................442
7.4.5. Устойчивость перевернутого вертикального равновесия ...................443
7.5. Резюме .................................................................................................................446
7.6. Проекты...............................................................................................................447

Глава 8. Приложение: язык Scheme .........................................................449

Глава 9. Приложение: наша нотация .......................................................459

Литература ............................................................................................................472

Предметный указатель ...................................................................................475

От издательства

Отзывы и пожелания

Мы всегда рады отзывам наших читателей. Расскажите нам, что вы ду маете 
об этой книге – что понравилось или, может быть, не понравилось. Отзывы 
важны для нас, чтобы выпускать книги, которые будут для вас максимально 
полезны.
Вы можете написать отзыв на нашем сайте www.dmkpress.com, зайдя на 
страницу книги и оставив комментарий в разделе «Отзывы и рецензии». 
Также можно послать письмо главному редактору по адресу dmkpress@gmail.
com; при этом укажите название книги в теме письма. 
Если вы являетесь экспертом в какой­либо области и заинтересованы в написании 
новой книги, заполните форму на нашем сайте по адресу http://
dmkpress.com/authors/publish_book/ или напишите в издательство по адресу 
dmkpress@gmail.com.

Список опечаток

Хотя мы приняли все возможные меры для того, чтобы обеспечить высокое 
качество наших текстов, ошибки все равно случаются. Если вы найдете 
ошибку в одной из наших книг, мы будем очень благодарны, если вы сообщите 
о ней главному редактору по адресу dmkpress@gmail.com. Сделав это, 
вы избавите других читателей от недопонимания и поможете нам улучшить 
последующие издания этой книги. 

Нарушение авторских прав

Пиратство в интернете по­прежнему остается насущной проблемой. Издательство «
ДМК Пресс» очень серьезно относится к вопросам защиты авторских прав 
и лицензирования. Если вы столкнетесь в интернете с незаконной публикацией 
какой­либо из наших книг, пожалуйста, пришлите нам ссылку на интернет­ресурс, 
чтобы мы могли применить санкции.
Ссылку на подозрительные материалы можно прислать по адресу электронной почты dmkpress@gmail.com.
Мы высоко ценим любую помощь по защите наших авторов, благодаря 
которой мы можем предоставлять вам качественные материалы.

Предисловие

«Почти во всех учебниках, даже в лучших, 
этот принцип представлен так, что его нельзя 
понять» (Якоби К., Лекции по динамике, 1842–
1843). Не решусь нарушать эту традицию.

В. И. Арнольд, «Математические методы 
классической механики». Наука, 1974, [5]

Если вы не можете объяснить что­то просто, 
вы недостаточно хорошо это понимаете.

Альберт Эйнштейн

Заметное возрождение интереса к классической теоретической механике, 
наблюдающееся в последние годы, связано с открытием глубинных, не предполагавшихся 
ранее слоев познания. Поведение классических1 систем оказалось 
удивительно богато; вывод уравнений движения, находящийся в центре внимания традиционной механики, – это только начало. В классических 
механических системах был обнаружен сложный набор явлений, таких как 
нелинейные резонансы, хаотическое поведение и фазовые переходы к стохастическому 
поведению или хаосу.
В традиционных методах механики большая часть усилий сосредоточена 
на исследовании чрезвычайно узкого класса динамических систем, поведение 
которых поддается аналитическому описанию. Мы же будем изучать 
общие методы исследования поведения систем независимо от того, имеют 
описывающие их уравнения аналитическое решение или нет. Реальные 
динамические системы демонстрируют поведение, принципиально отличающее 
их от аналитически разрешимых систем, и это поведение бывает 
удивительно сложным. Мы намерены широко использовать компьютерное 
моделирование для изучения явлений движения. 
Даже когда уравнения движения механической системы не допускают 
аналитического решения, инструменты современной динамики позволяют 
получить качественное понимание законов движения. Вместо того чтобы 
громоздить формулы, мы концентрируемся на геометрических особенностях 
набора возможных фазовых траекторий. Такие методы обеспечивают возможности 
для систематического анализа численных или экспериментальных 
данных.
Простота классической механики обманчива. Легко можно получить правильный 
ответ, даже используя ошибочные исходные предположения, без 
реального понимания сути задачи. Традиционная система математических 
обозначений подчас добавляет сложностей пониманию. Символические обо-

1 То есть нерелятивистских. – Прим. перев.

 Предисловие

значения имеют значения, которые зависят от контекста, а иногда меняют 
свое значение даже в пределах одной задачи2. Теоретическая механика 
основывается на уравнениях Лагранжа. В канонической форме уравнения 
Лагранжа имеют следующий вид:

Лагранжиан L здесь должен быть функцией обобщенных координат и скоростей 
qi и qi, для того чтобы соответствующие частные производные были 
определены и существовали, однако чтобы производная по времени d/dt 
также была определена и существовала, в частные производные лагранжиана 
должны быть подставлены решения для траектории системы, дабы дифференцируемое 
выражение зависело только от времени. Традиционное использование 
неоднозначной нотации удобно в простых ситуациях, но в более 
сложных ситуациях может стать серьезным препятствием для четкого рассуждения. 
Чтобы выкладки были ясными и недвусмысленными, мы используем 
более точную математическую нотацию. Используемая нами нотация 
функциональна и соответствует современным математическим представле-
ниям3. Ее подробное описание приведено в приложении.
Численные расчеты также необходимы для развития и реализации математических 
идей, лежащих в основе механики. Мы требуем, чтобы наши математические 
обозначения были настолько однозначными и точными, чтобы 
их можно было интерпретировать автоматически с помощью компьютера. 
Вследствие этого формулы и уравнения, которые появляются в тексте, сущест вуют самостоятельно, имея четкое значение независимо от неформаль-

2 В своей книге по математической педагогике [17] Ганс Фрейденталь утверждает, 
что использование двусмысленных и неявных соглашений в таких выражениях, как 
f(x) и df(x)/dx, делает понимание математики, и особенно вводный курс дифференциального 
и интегрального исчисления, чрезвычайно сложным для начинающих 
студентов. Он советует преподавателям математики по возможности использовать 
более формальную современную нотацию.
3 В своей прекрасной книге «Математический анализ на многообразиях» [40] Майкл 
Спивак использует операторную форму записи. На стр. 44 он обсуждает некоторые 
проблемы классической нотации. Мы приводим особенно пикантный отрывок: 
Простое выражение [для производной сложной функции] в классической системе 
обозначений требует введения не относящихся к делу символов. Обычно выражение 
для D1(f(g, h)) записывается следующим образом:
Если f(u, v) – функция такая, что u = g(x, y), v = h(x, y), то:

[Здесь ∂u/∂x означает ∂/∂x f(x, y) и ∂/∂u f(u, v) означает D1f(u, v) = D1f(g(x, y), h(x, y)).]
Обычно это уравнение записывается в упрощенной форме:

Обратите внимание, что f в правой и левой частях этого уравнения имеет разный 
смысл!

Предисловие  15

ного контекста. Например, в операторной форме мы записываем уравнения 
Лагранжа следующим образом4:

D(∂2L  Γ[q]) – ∂1L  Γ[q] = 0. 

Здесь лагранжиан L – вещественная функция времени t, обобщенных координат 
x и скоростей v – L(t, x, v). Обозначение частных производных позиционное – 
то есть для идентификации переменной, по которой берется 
производная, используется ее позиция или номер порядкового положения 
в обозначении функции; таким образом, оператор ∂2L определяет функцию, 
полученную путем взятия частной производной функции Лагранжа L по 
переменной скорости, находящейся во второй позиции. Традиционные способы 
записи с частными производными, когда используются явно выписанные 
производные по «переменным», могут зависеть от контекста, что может 
привести к двусмысленности5. Частные производные лагранжиана затем 
явным образом вычисляются вдоль пути q. Берется производная по времени, 
и получаются уравнения Лагранжа. На каждом шаге используются только 
явные методы, вся процедура вывода уравнений движения из лагранжиана 
свободна от «скрытых» подстановок.
Численные методы применяются для точного расчета динамики при анализе 
механических систем. Реализация методов вариационной механики на 
языке компьютеров заставляет их быть однозначными и вычислительно эффективными. 
Численные расчеты требуют от нас точности в представлении 
механических и геометрических понятий как объектов вычислений и позволяют 
явно составлять алгоритмы для манипулирования этими объектами. 
Кроме того, после формализации в виде процедуры математическая идея 
становится инструментом, который можно использовать непосредственно 
для получения результатов.
Активное участие в исследовании со стороны студента является неотъемлемой 
частью процесса обучения. Необходимо сосредоточиться на глубоком 
понимании движения систем; чтобы понять эволюцию динамических систем, 
студент должен активно исследовать их движение с помощью компьютерного 
моделирования и эксперимента. Упражнения и проекты являются 
неотъемлемой частью процесса обучения.
То, что математический формализм достаточно точен, чтобы его можно 
было интерпретировать автоматически, позволяет использовать компьютеры 
для активных исследований. Требование, чтобы компьютер мог интерпретировать 
любое выражение, обеспечивает строгую и немедленную обратную 
связь относительно того, правильно ли сформулировано выражение. 

4 Здесь это уравнение приводится без пояснений, чтобы должным образом заинтриговать читателя. В основном тексте, разумеется, приведено подробное разъяснение.

5 Приходится пользоваться аппаратом частных производных, а это такой объект, 
в самом обозначении которого уже кроется двусмысленность (В. И. Арнольд, «Математические 
методы классической механики» [5], §47, с. 222. См. также сноску на 
этой странице).

 Предисловие

Опыт показывает, что такое интерактивное взаимодействие с компьютером 
быстрее выявляет и исправляет многие недостатки в понимании.
В этой книге мы используем для написания программ Scheme – вариант 
языка программирования Lisp, который также применяется на вводном курсе 
информатики в Массачусетском технологическом институте. Существует 
много хороших описаний Scheme, здесь  мы приводим только краткое введение 
в этот язык программирования в приложении.
Даже во вводном курсе информатики мы никогда специально не занимаемся 
изучением языка, потому что это не нужно. Мы просто начинаем 
использовать его, вначале в простых ситуациях, и студенты способны 
успешно программировать уже через несколько дней. Это одно из больших 
преимуществ Lisp­подобных языков: у них очень мало способов формирования 
сложных выражений и почти нет синтаксической структуры. Все 
формальные свойства могут быть изучены за час, как правила шахмат. Через 
некоторое время мы забываем о синтаксических деталях языка (потому 
что их нет) и переходим к реальным задачам – выясняем, что мы хотим 
вычислить.
Преимущество Scheme перед другими языками для расчетов в области 
классической механики заключается в том, что манипулирование процедурами, 
реализующими математические функции, в нем организуется проще 
и естественнее, чем в других компьютерных языках. Действительно, многие 
теоремы механики непосредственно представимы в виде программ на 
Scheme.
Версия Scheme, которая используется в этой книге, – вариант MIT/GNU, 
дополненный большой библиотекой программ под названием Scmutils, расширяющей 
операторы Scheme с целью сделать их универсально применимыми 
к различным математическим объектам, включая символические выражения. 
Библиотека Scmutils также обеспечивает поддержку численных 
методов, которые мы используем в этой книге, таких как интегрирование, 
решение систем дифференциальных уравнений и многопараметрическая 
оптимизация.
Система Scheme, дополненная библиотекой Scmutils, является свободным 
программным обеспечением. Мы предоставляем эту систему в комплекте 
с документацией и исходным кодом в форме, которую можно использовать 
с операционной системой GNU/Linux, в интернете по адресу mitpress.mit.edu/
classical_mech.
В этой книге классическая механика представлена с необычной точки зрения. 
Изложение направлено на понимание динамики механических систем, 
а не на вывод уравнений движения. Мы вводим последние достижения в области 
нелинейной динамики на протяжении всего курса, а не только как 
запоздалое дополнение. Используя операторную математическую систему 
обозначений, мы облегчаем точное понимание фундаментальных свойств 
классической механики. Мы применяем численные вычисления для закрепления изученного материала, для формализации методов, для моделирования 
и для аналитических вычислений. 
Эта книга является результатом преподавания классической теоретической 
механики в Массачусетском технологическом институте. Содержа-