Специальные функции математической физики

          А.Ф.НИКИФОРОВ. В.Б.УВАРОВ


 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ




                МАТЕМАТИЧЕСКОЙ











                ФИЗИКИ











ИНТЕЛЛЕКТ


ют пиний
2117

УДК 519.6
ББК 22.19 Н62










         Никифоров А. Ф., Уваров В. Б.
   Н62 Специальные функции математической физики: Учебное пособие / А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров. — 3-е изд. — Долгопрудный: <ИНТЕЛЛЕКТ>, 2007. — 344 с.
             ISBN 978-5-89155-165-7
             Классические ортогональные полиномы, сферические и гипергеометрические функции, а также функции Бесселя рассматриваются с единой точки зрения как частные решения возникающего во многих задачах математической физики и квантовой механики дифференциального уравнения определенного типа. Для решений этого уравнения с помощью обобщения формулы Родрига найдено интегральное представление, из которого получены все основные свойства специальных функций. Построена также теория классических ортогональных полиномов дискретной переменной как на равномерных, так и неравномерных сетках, установлена их связь с коэффициентами Клебша—Гордана и коэффициентами Рака. Рассматриваются приложения к задачам математической физики, квантовой механики и вычислительной математики.
             Книга предназначена для студентов и аспирантов, научных работников и инженеров-исследователей, а также для всех, имеющих дело с математическими расчетами. Она может быть использована при изучении теоретической и математической физики.
                                                        ББК 22.19
                                                        УДК 519.6

















ISBN 978-5-89155-165-7        © 2007, наследники
© 2007, ООО ИД <ИНТЕЛЛЕКТ>, оригинал-макет, оформление

  ОГЛАВЛЕНИЕ







Предисловие редактора первого издания ................. 7
Предисловие ко второму изданию ........................ 9


ГЛАВА I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ...................... 12

§ 1.  Дифференциальное уравнение для специальных функций  12
§ 2.  Полиномы гипергеометрического типа................ 16
§ 3.  Интегральное представление для функций гипергеометрического типа ........................................ 19
§ 4.  Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования .................................................. 25

ГЛАВА II
КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ . .                   31

§ 5.  Основные свойства полиномов гипергеометрического типа 31
     1. Полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита (31). 2. Некоторые следствия из формулы Родрига (34). 3. Производящие функции (35). 4. Свойство ортогональности (38).

§ 6.  Некоторые общие свойства ортогональных полиномов 41
     1. Разложение произвольного полинома по ортогональным полиномам (41). 2. Единственность системы ортогональных полиномов при заданном весе (42). 3. Рекуррентные соотношения (44). 4. Формула Дарбу—Кристоффеля (46). 5. Свойства нулей (47). 6. Свойства четности полиномов, вытекающие из четности весовой функции (48).
     7. Связь двух систем ортогональных полиномов, для которых отношение весов является рациональной функцией (49).

§ 7.  Качественное поведение и асимптотические свойства полиномов Якоби, Лагерра и Эрмита ...................... 52
     1. Качественное поведение (52). 2. Асимптотические свойства и некоторые оценки (54).

§ 8.  Разложение функций в ряды по классическим ортогональным полиномам ...................................... 60
     1. Общие соображения (60). 2. Замкнутость системы ортогональных полиномов (62). 3. Теоремы разложения (64).

3

§ 9.  Задачи на собственные значения, приводящие к классическим ортогональным полиномам ........................... 69
      1. Постановка задачи (69). 2. Классические ортогональные полиномы как собственные функции некоторых задач на собственные значения (71). 3. Задачи квантовой механики, приводящие к классическим ортогональным полиномам (75).
§ 10. Сферические функции ................................... 78
      1. Решение уравнения Лапласа в сферических координатах (78).
      2. Свойства сферических функций (83). 3. Связь однородных гармонических полиномов и сферических функций (85). 4. Обобщенные сферические функции (87). 5. Теорема сложения (94).
§ 11. Функции второго рода .................................. 96
      1. Интегральное представление (96). 2. Асимптотическое представление (98). 3. Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования (99). 4. Некоторые специальные функции, родственные функции второго рода Q₀ (z): неполные бета- и гамма-функции, интегральная показательная функция, интеграл вероятности, интегральные синус и косинус (100).
§ 12. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной .................................................. 105
      1. Разностное уравнение гипергеометрического типа (105). 2. Разностные аналоги полиномов гипергеометрического типа и их производных (107). 3. Свойство ортогональности (111). 4. Полиномы Хана, Чебышева, Мейкснера, Кравчука и Шарлье (114). 5. Вычисление основных характеристик (122). 6. Связь с полиномами Якоби, Ла-герра и Эрмита (124). 7. Связь обобщенных сферических функций с полиномами Кравчука (128).
§ 13. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной на неравномерных сетках .......................... 129
      1. Разностное уравнение на неравномерной сетке (129). 2. Классификация сеток (131). 3. Основное свойство разностных уравнений гипергеометрического типа на неравномерных сетках (134). 4. Формула Родрига (139). 5. Свойство ортогональности (145). 6. Вычисление весовых функций (149). 7. Основные характеристики полиномов Рака и дуальных полиномов Хана (158). 8. Асимптотические свойства (160). 9. Построение некоторых классов неравномерных сеток с помощью формулы Дарбу—Кристоффеля (161).

ГЛАВА III
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ..................................... 164
§ 14. Дифференциальное уравнение Бесселя и его решение 164
      1. Решение уравнение Гельмгольца в цилиндрических координатах (164
      2. Определение функций Бесселя первого рода и функций Ханкеля (165
§ 15. Основные свойства цилиндрических функций ............. 169
      1. Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования (169).
      2. Аналитическое продолжение и асимптотические представления (170).
      3. Функциональные соотношения (172). 4. Разложения в степенные ряды (173).
§ 16. Интегральное представление Зоммерфельда .............. 175
      1. Интегральное представление Зоммерфельда для цилиндрических функций (175). 2. Интегральные представления Зоммерфельда для функций Ханкеля и функций Бесселя первого рода (177).

4

    § 17. Специальные классы цилиндрических функций . . . 179

      1. Функции Бесселя второго рода (179). 2. Функции Бесселя по-луцелого порядка. Полиномы Бесселя (181). 3. Функции Бесселя мнимого аргумента (183).
§ 18. Теоремысложения...................................... 186
      1. Теорема сложения Графа (187). 2. Теорема сложения Гегенбауэра (188). 3. Разложение сферической и плоской волны по полиномам Лежандра (193).
§ 19. Квазиклассическое приближение ....................... 193
      1. Квазиклассическое приближение для решений уравнений второго порядка (194). 2. Асимптотические представления для классических ортогональных полиномов при больших значениях n (199).
      3. Квазиклассическое приближение для уравнений с особенностью. Квазиклассика для центрально-симметричного поля (202). 4. Асимптотика цилиндрических функций при больших значениях порядка. Формулы Лангера (204). 5. Определение собственных значений энергии для уравнения Шредингера в квазиклассическом приближении. Формула Бора—Зоммерфельда (205).

ГЛАВА IV
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ............................... 209
§ 20. Уравнения гипергеометрического типа и их решения 209
      1. Приведение к каноническому виду (209). 2. Преобразование уравнений гипергеометрического типа в уравнения того же типа (210).
      3. Гипергеометрическая и вырожденная гипергеометрическая функции (212). 4. Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования для функций F(а, в, Y, z) и F(a, Y, z) (215). 5. Совокупность решений гипергеометрического и вырожденного гипергеометрического уравнения (218). 6. Решения уравнения Эрмита (220).
§ 21. Основные свойства функций гипергеометрического типа 221
      1. Разложения в степенные ряды (221). 2. Функциональные соотношения и асимптотические представления (223). 3. Особые случаи (231).
§ 22. Представление различных функций через функции гипергеометрического типа ................................... 236
      1. Некоторые элементарные функции (236). 2. Полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита (236). 3. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной (238). 4. Функции второго рода (239). 5. Цилиндрические функции (241). 6. Эллиптические интегралы (242).
      7. Функции Уиттекера (242).
§ 23. Определенные интегралы, содержащие функции гипер-

     геометрического типа ....................... 243

ГЛАВА V
РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ .................................. 246
§ 24. Приведение уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям методом разделения переменных ...................... 246
     1. Общая схема метода разделения переменных (246). 2. Применение криволинейных систем координат (247).


5

§ 25. Краевые задачи математической физики .................. 250
      1. Решение краевых задач методом разделения переменных (250).
      2. Задача Штурма—Лиувилля. Основные свойства собственных значений и собственных функций (252). 3. Осцилляционные свойства решений задачи Штурма—Лиувилля (254). 4. Разложение функций по собственным функциям задачи Штурма—Лиувилля (260). 5. Краевые задачи для уравнения Бесселя (261). 6. Разложения Дини и Фурье—Бесселя. Интеграл Фурье—Бесселя (264).

§ 26. Решение некоторых основных задач квантовой механики 266
      1. Решение уравнения Шредингера для центрально-симметричного поля (267). 2. Решение уравнения Шредингера для кулоновского поля (268). 3. Решение уравнений Клейна—Гордона и Дирака для кулоновского поля (274). 4. Коэффициенты Клебша—Гордана и их связь с полиномами Хана (286). 5. бу’-символы Вигнера и полиномы Рака (295).

§ 27. Применение специальных функций в некоторых задачах вычислительной математики ............................... 297
      1. Квадратурные формулы типа Гаусса (297). 2. Применение классических ортогональных полиномов дискретной переменной для сжатия информации (304). 3. Применение модифицированных функций Бесселя в задачах лазерного зондирования (306).


ДОПОЛНЕНИЕ ................................ 309

А. Гамма-функция .......................... 309

      1. Определение функций r(z) и B(u, v) (309). 2. Функциональные соотношения (310). 3. Логарифмическая производная гамма-функции (313). 4. Асимптотические представления (315). 5. Примеры (318).

Б. Аналитические свойства и асимптотические представле-

    ния интеграла Лапласа .................. 318

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ........................... 325


       1. Гамма-функция r(z) (325). 2. Логарифмическая производная гамма-функции ф(z) (326). 3. Обобщенное уравнение гипергеометрического типа (326). 4. Уравнение гипергеометрического типа (327). 5. Полиномы гипергеометрического типа (328). 6. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов (329). 7. Классические ортогональные полиномы (329). 8. Сферические функции (330). 9. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной (332). 10. Некоторые специальные функции, родственные функциям второго рода Q₀ (z) для классических ортогональных полиномов (332). 11. Цилиндрические функции (334). 12. Гипергеометрические функции F(a, в, Y, z) (337). 13. Вырожденные гипергеометрические функции F(a, y, z) и G(a, y, z) (338). 14. Функции Эрмита H,(z) (339).


Список литературы ................................... 340
Предметный указатель ................................ 341
Указатель основных обозначений ...................... 343

  ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРВОГО ИЗДАНИЯ








   В связи с широким развитием численных методов и возрастанием роли вычислительного эксперимента в большой степени повысился интерес к специальным функциям. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического явления для понимания основных закономерностей явления и выяснения относительной роли отдельных эффектов исходную задачу часто приходится упрощать для того, чтобы можно было получить решение в легко анализируемой аналитической форме. Во-вторых, при решении сложных задач на ЭВМ удобно использовать упрощенные задачи для выбора надежных и экономичных вычислительных алгоритмов. Очень редко при этом можно ограничиться задачами, приводящими к элементарным функциям. Кроме того, знание специальных функций необходимо для понимания многих важных вопросов теоретической и математической физики.
   Наиболее употребительными специальными функциями являются так называемые специальные функции математической физики: классические ортогональные полиномы (полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита), сферические, цилиндрические и гипергеометрические функции. Теории этих функций и их приложениям посвящен целый ряд фундаментальных исследований. К сожалению, в этих исследованиях используется довольно громоздкий математический аппарат и множество специальных приемов. Поэтому давно существует потребность в построении теории специальных функций, основанном на одной общей и достаточно простой идее.
   Авторам предлагаемой книги удалось найти удобный для изучения способ изложения теории специальных функций, опирающийся на обобщение известной формулы Родрига для классических ортогональных полиномов. Такой подход позволяет получить в явном виде интегральные представления для всех специальных функций математической физики и вывести основные свойства этих функций. В частности, с помощью предложенного метода можно найти решения тех линейных дифференциальных уравнений второго порядка, которые обычно решаются методом Лапласа. Для построения теории специальных функций применяется минимальный математический аппарат: от читателя требуется владение лишь основными фактами теории обыкновенных дифференциаль

7

ных уравнений и теории функций комплексного переменного. Это несомненное достоинство книги, так как известно, что большой объем необходимых математических знаний, в том числе и по специальным функциям, составляет основное препятствие при изучении теоретической и математической физики.
   В процессе работы над книгой читатель приобретает навыки получения асимптотических формул, разложений в ряды, рекуррентных соотношений, различного рода оценок, расчетных формул и учится видеть внутренние логические связи между совершенно различными на первый взгляд специальными функциями.
   В книге намечены связи с другими разделами математики и физики. Большое внимание уделено квантовомеханическим приложениям. Особый интерес для изучающих квантовую механику представляет изложение вопросов о нахождении дискретного спектра энергий и соответствующих волновых функций для задач, приводящих к использованию классических ортогональных полиномов. Эти вопросы авторам удалось изложить без традиционного испольаования обобщенных степенных рядов. Благодаря этому красиво и легко решаются такие важные задачи квантовой механики, как задача о гармоническом осцилляторе, движение частицы в центральном поле, уравнения Шредингера, Дирака и Клейна—Гордона для кулоновского потенциала. Заслуживает внимания также изложение метода Вентцеля—Крамерса—Бриллюэна на основе метода Стеклова.
   Для сферических и цилиндрических функций рассмотрены теоремы сложения, широко применяемые в теории атомных спектров, теории рассеяния, при расчетах ядерных реакторов. При изучении обобщенных сферических функций авторы вплотную подходят к теории представлений группы вращений и общей теории момента количества движения. В дальнейшем читатель может углубить свои знания по специальным функциям с помощью книг, в которых специальные функции исследуются методами теории групп. Для занимающихся теорией разностных методов представят интерес классические ортогональные полиномы дискретной переменной. С точки зрения приближенных вычислений поучительно применение квадратурных формул типа Гаусса для вычисления сумм и построения приближенных формул для специальных функций. Заметим, что многие существенные для приложений вопросы, излагаемые в книге, либо слабо освещаются, либо совсем не затрагиваются в учебной литературе.
   Книга написана специалистами по математической физике и квантовой механике. Она возникла в процессе работы авторов над актуальной проблемой физики плазмы в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша АН СССР.
   В книге содержится очень большой материал, ясно и последовательно изложенный в малом объеме. Несомненно, что предлагаемая книга окажется полезной широкому кругу читателей.

Академик А. А. Самарский

8

  ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ







   Решение многих задач теоретической и математической физики, связанных, например, с изучением процессов теплопроводности и взаимодействия излучения с веществом, распространения электромагнитных и звуковых волн, с разработкой теории ядерных реакторов и внутреннего строения звезд, приводит к использованию различных специальных функций.
   Так как на практике специальные функции обычно возникают как решения некоторых дифференциальных уравнений, то с точки зрения математической физики естественным является такой подход, при котором все свойства специальных функций выводились бы непосредственно из дифференциальных уравнений, возникающих при математической постановке задачи. В соответствии с этим авторами был разработан метод, позволяющий изложить теорию специальных функций, исходя из дифференциального уравнения вида
u" + -e(z)- u' +  u=0,                (1)
c(z)    G2 (z)
где c(z), ce(z) — полиномы не выше второй степени, e(z) — полином не выше первой степени. Уравнение (1) содержит как частные случаи дифференциальные уравнения, приводящие к специальным функциям в математической физике и квантовой механике.
   Книга построена по следующему плану. В гл. I рассмотрен класс преобразований u = <p(z) у, в результате которых с помощью специального выбора функции ^(z) уравнение (1) преобразуется в уравнение того же типа. Среди таких преобразований выбираются преобразования, переводящие уравнение (1) в уравнение более простого вида
c(z) у"+t(z) у'+Ху = 0,               (2)
где t(z) — полином не выше первой степени, Х — постоянная.
   Будем называть уравнение (2) уравнением гипергеометрического типа, а его решения — функциями гипергеометрического типа. Теория этих функций строится в следующей последовательности.

9

Сначала доказывается, что производные функций гипергеометрического типа также являются функциями гипергеометрического типа. Это свойство позволяет построить семейство частных решений уравнения (2), соответствующих определенным значениям Л, исходя из очевидного решения уравнения (2): y(z)=const при Л=0, Такие решения являются полиномами относительно переменной z. Естественное обобщение интегрального представления для этих полиномов дает возможность вывести интегральное представление для произвольных функций гипергеометрического типа, соответствующих любым значениям Л. С помощью этого интегрального представления и преобразований уравнения (2) в уравнения того же вида могут быть получены все основные свойства рассматриваемых функций: разложения в степенные ряды, асимптотические представления, рекуррентные и функциональные соотношения. Развитая теория позволяет находить полную совокупность решений уравнения (1).
   Таким образом, после изучения гл. I читатель получает достаточно полное представление о теории специальных функций.
   Главы II—IV посвящены реализации намеченной программы для конкретных функций гипергеометрического типа — классических ортогональных полиномов, сферических, цилиндрических и гипергеометрических функций. Эти главы можно читать в произвольном порядке после изучения гл. I.
   Теория классических ортогональных полиномов излагается в гл. II. Эти полиномы являются наиболее простыми специальными функциями. В то же время, опираясь на формулу Родрига для классических ортогональных полиномов, легко прийти к интегральным представлениям для других специальных функций математической физики, например для функций Бесселя (гл. III) и гипергеометрических функций (гл. IV).
   Логическая схема построения теории классических ортогональных полиномов естественным образом переносится на случай, когда дифференциальное уравнение заменяется разностным. При таком обобщении возникают классические ортогональные полиномы дискретной переменной, теория которых рассмотрена в §§ 12, 13.
   Глава V посвящена приложениям. Следует отметить, что в книге рассмотрены практически все основные задачи квантовой механики, допускающие решение в явной форме, и построение этих решений проведено единым методом. Для физиков может представить интерес рассмотренная в книге удивительно простая связь широко используемых в квантовой механике коэффициен-10

тов Клебша—Гордана с ортогональными полиномами дискретной переменной — полиномами Хана, а также связь коэффициентов Рака с классическими ортогональными полиномами дискретной переменной на квадратичной сетке.
   Так как знакомство со свойствами гамма-функции Эйлера является необходимой предпосылкой для изучения специальных функций, то в Дополнении, помещенном в конце книги, дается теория гамма-функции. Здесь же излагаются свойства интеграла Лапласа, которые используются при получении аналитического выражения и асимптотических представлений для специальных функций. В конце книги приведены также основные формулы.
   Более подробную информацию о строении книги можно получить, используя оглавление и приведенную ниже схему зависимости глав:


   Основной материал книги излагался в курсе лекций по методам математической физики, читавшемся в течение ряда лет на факультете теоретической и экспериментальной физики Московского инженерно-физического института, а также в спецкурсах на физическом, химическом факультетах и факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ.
   Во втором издании удалось улучшить ряд доказательств, в частности, дать новое доказательство основной теоремы, на которую опирается все содержание книги. Некоторые параграфы написаны проще, с привлечением нового материала. Впервые в литературе дано изложение теории классических ортогональных полиномов дискретной переменной на равномерных и неравномерных сетках, рассмотрены их приложения в физике.
   Авторы глубоко благодарны академику А. А. Самарскому, взявшему на себя труд по редактированию первого издания книги, за его постоянное внимание и большую помощь в работе над книгой. Авторы благодарны Т. Т. Цирулису, В. Я. Арсенину, Б. Л. Рождественскому, сотрудникам кафедры теоретической и ядерной физики МИФИ, а также С. К. Суслову за полезные замечания по содержанию книги.

А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров.

11

  ГЛАВА I


  ОСНОВЫ ТЕОРИИ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ








   § 1. Дифференциальное уравнение для специальных функций


   Многие важные задачи теоретической и математической физики приводят к дифференциальному уравнению

u" +

T(z) CT (z)

u'+

<e(z)
CT2(z)

u=0,

(1)

где ст(z), CT(z) — полиномы не выше второй степени, e(z) — полином не выше первой степени. Уравнения такого вида возникают, например, при решении уравнений Лапласа и Гельмгольца в различных криволинейных системах координат методом разделения переменных, при рассмотрении основных задач квантовой механики: движение частицы в сферически-симметричном поле, гармонический осциллятор, решение уравнений Шредингера, Дирака и Клейна—Гордона для кулоновского потенциала, движение частицы в однородном электрическом и магнитном поле. Кроме того, к уравнению (1) приводят также многие модельные задачи атомной, молекулярной и ядерной физики.
   Частными решениями уравнений вида (1) являются следующие классы специальных функций — классические ортогональные полиномы (полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита), сферические, цилиндрические и гипергеометрические функции. Эти функции часто называют специальными функциями математической физики.
   Всюду в дальнейшем будем предполагать, что переменная z и коэффициенты полиномов CT(z), CT(z), e(z) могут принимать любые вещественные или комплексные значения.
   Попытаемся с помощью замены u=v(z)y привести уравнение (1) к более простому виду путем специального выбора функции V(z). Имеем
у'' + [2 vL+_lI y'+1 vL + vL ±+стI y=0.         (2)
V <p ст \       v    V ст   ст 2 1

12

Для того чтобы уравнение (2) не было более сложным, чем исходное уравнение (1), естественно потребовать, чтобы коэффициент при у' имел вид t(z)/o(z), где t(z) — некоторый полином не выше первой степени. Тогда для функции y(z) получим уравнение

у'/у=n(z)/o (z),

(3)

где

n(z) = [r(z) - e(z)]/2                    (4)

есть полином

то уравнение

не выше первой степени. Так как
=($)'+($ l²=(f)'+(1 I²,
(2) принимает вид
'' , t(z) ' , e(z) ₙ
y ⁺ о(z) y ⁺ о²(z) y 0,

где

t⁽z⁾

=e(z)+2n(z),

(5)


(6)

          о (z) = o(z) + n²(z) + n(z)[e(z) — o' (z)]+ П (z) о (z).   (7)

Функции t(z) и o(z) являются полиномами соответственно не выше первой и второй степени. Поэтому уравнение (5) является уравнением того же типа, что и уравнение (1). Таким образом, мы нашли класс преобразований, не меняющих тип уравнения, — это преобразования уравнения (1) с помощью замены u=y(z)y, где функция y(z) удовлетворяет уравнению (3), в котором n(z) — произвольный полином первой степени.
   Воспользуемся произволом в выборе полинома n(z) для того, чтобы среди всех возможных видов уравнения (5) выбрать наиболее простой и удобный для исследования свойств решений. Выберем коэффициенты полинома n(z) из условия, чтобы входящий в (5) полином o(z) делился без остатка на o(z), т. е.

o(z) = Ao(z),

(8)

где Л — постоянная. Это возможно, так как, приравнивая коэффициенты при различных степенях z в обеих частях равенства (8), мы получаем три уравнения относительно трех неизвестных постоянных — постоянной Л и двух коэффициентов полинома n(z). В результате уравнение (5) будет иметь вид
o(z)y''+T(z)y'+Лу = 0.               (9)

13

   Будем называть уравнение (9) уравнением гипергеометрического типа, а его решения — функциями гипергеометрического типа. В соответствии с этим уравнение (1) естественно назвать обобщенным уравнением гипергеометрического типа*).
   Для определения полинома n(z) и постоянной Л перепишем условие (8) в виде

п²+(e— а' )п + а'—ко=0,

где

к=Л-П (z),                      (10)

Если считать постоянную k известной, то в результате решения квадратного уравнения для n(z) получим

п ⁽z⁾= -а-- ±у/1 а——Т-1 - e+ка.             ⁽¹¹⁾

   Так как n(z) — полином, то подкоренное выражение должно представляться в виде квадрата некоторого полинома. Это возможно лишь в случае, когда дискриминант полинома второй степени, стоящего под корнем, равен пулю. Из этого условия получаем уравнение для постоянной к, вообще говоря, квадратное.
   После определения к находим n(z) по формуле (11), а затем ^(z), t(z), Л с помощью (3), (6), (10). Очевидно, что сведение уравнения (1) к уравнению (9) может быть осуществлено несколькими способами в соответствии с выбором различных значений постоянной к и выбором различных знаков в формуле (11) для n(z).
   Рассмотренное преобразование позволяет вместо изучения исходного уравнения (1) ограничиться изучением более простого уравнения (9).
   П р и м е р. Приведем к виду (9) уравнение Бесселя

z2u" + zu' +(z² — v²)u = 0

с помощью замены u=rp(z)y. Уравнение Бесселя является частным случаем уравнения (1) при o(z) = z, e(z) = 1, e(z) = z² — v².


  *) Если а (z) — полином второй степени, то уравнение (1) является частным случаем уравнения Римана с тремя различными особыми точками, когда одна из особых точек лежит на бесконечности. Уравнение Римана изучается в курсах по аналитической теории дифференциальных уравнений (см. [18, 19], а также книги: Г о л у б е в В. В. Лекции по аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.—Л.: Гостехиздат, 1941; А й н с Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Харьков, 1939).

14